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第19讲多边形与平行四边形[归纳总结]1.多边形的性质:n边形的内角和为_____________；任意多边形的外角和为________；对角线条数为_____________．n（n－3）2(n－2)×180°360°2．正多边形的定义及性质：定义：各个角________，各条边________的多边形叫正多边形；性质：(1)每一个内角的度数为_____________________；(2)正多边形是轴对称图形，边数为偶数的正多边形也是_____________图形．相等相等（n－2）×180°n中心对称考点1多边形及其性质1．从八边形的一个顶点出发，可以引________条对角线．2．一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是________．3．已知一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形的边数是________．597平行四边形性质1.对边________________，对角________，对角线_____________．2.平行四边形是_____________对称图形，不一定是轴对称图形．平行且相等相等互相平分中心考点2平行四边形的性质1．已知平行四边形ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝()A．18°B．36°C．72°D．144°2．已知平行四边形ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝()A．4B．12C．24D．283．在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是()A．3cm＜OA＜5cmB．2cm＜OA＜8cmC．1cm＜OA＜4cmD．3cm＜OA＜8cmBBC[归纳总结]平行四边形的判定利用边两组对边分别的四边形是平行四边形两组对边分别的四边形是平行四边形一组对边的四边形是平行四边形利用角：两组对角分别的四边形是平行四边形利用对角线：对角线的四边形是平行四边形平行相等平行且相等相等互相平分考点3平行四边形的判定1．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是()A．两组对边分别平行B．一组对边平行另一组对边相等C．一组对边平行且相等D．两组对边分别相等2．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A．∠A＝∠C，∠B＝∠DB．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BCD．OA＝OC，OD＝OBBC┃考向互动探究与方法归纳┃探究一多边形与内角和、外角和的计算例1已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．6[解析](n－2)×180°＝2×360°解得n＝6.故答案为6.变式题[2013·巴中]若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是________边形．四证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥CE，AD＝BC，AB＝CD.∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，AF＝CF，∴BE＝DE.在△ABE和△CDF中，AB＝CD，BE＝DF，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SSS)．例2[2013·广安]如图19－1，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF.[中考点金](1)应用平行四边形的性质，主要是利用平行四边形的边与边、角与角及对角线之间的特殊关系进行证明或计算；(2)判定平行四边形时，要根据已知条件是边、角还是对角线的关系，再选择合适的方法判定；(3)在平行四边形问题中，一般会涉及全等三角形的相关知识．l例3：在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O，若AF=CE,BH=DG求证：GF//EH证明：∵平行四边形ABCD中，OA＝OC，由已知AF＝CE，∴AF－OA＝CE－OC，∴OF＝OE.同理得OG＝OH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴GF∥HE.┃考题自主训练与名师预测┃1．[2013·雅安]五边形的内角和为()A．720°B．540°C．360°D．180°B[解析]根据多边形内角和公式，所以五边形的内角和为(5－2)×180＝540°.故选B.2．[2013·黔西南州]已知□ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是()A．100°B．160°C．80°D．60°C[解析]根据平行四边形的性质，对角相等，邻角互补，所以∠A＝∠C＝100°，所以∠B＝180°－∠A＝80°，故选C.3．[2012·茂名]从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是()A．6B．7C．8D．9C[解析]根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形，n－2＝6，解得n＝8.故选C.4．[2013·海南]如图19－3，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定．．．成立的是()图19－3A．BO＝DOB．CD＝ABC．∠BAD＝∠BCDD．AC＝BDD[解析]根据平行四边形的性质，可知对边相等，对角相等，对角线互相平分，所以CD＝AB，BO＝DO，∠BAD＝∠BCD，故选D.5．[2013·荆门]四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A．3种B．4种C．5种D．6种B[解析]①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③、①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形，故符合条件的有4种选法，答案选B.7．[2013·长春]如图19－5，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为________度．658．如图19－6所示，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为________．10．[2013·北京]如图19－8，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝12BC，连接DE，CF.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．图19－8解：(1)证明：在□ABCD中，AD∥BC，AD＝BC.∵F是AD的中点，∴DF＝12AD.又∵CE＝12BC，∴DF＝CE且DF∥CE.∴四边形CEDF为平行四边形．(2)过点D作DH⊥BE于H，在□ABCD中，∵∠B＝60°，∴∠DCE＝60°.∵AB＝4，∴CD＝4.∴CH＝2，DH＝23.在□CEDF中，CE＝DF＝12AD＝3.∴EH＝1.在Rt△DHE中，DE＝（23）2＋12＝13.2．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为________．[解析]∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE＝AF，DF＝EC，DF＝BE，∴四边形ADEF，DECF，DFEB分别为平行四边形，故答案为3.1．八边形的内角和是()A．360°B．720°C．1080°D．1440°C解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD.又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF(AAS)．(2)①△ABC≌△CDA；②△BCE≌△DAF.3．如图19－10，已知E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)．