专题探究课一 高考中函数与导数问题的热点题型

数学数学《创新设计》2018版高三一轮总复习实用课件目录ContentsPage目录页1.热点一.利用导数研究函数的性质2.热点二.利用导数研究函数的零点或曲线交点问题3.热点三.利用导数研究不等式问题(规范解答)热点突破目录热点一利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.目录热点一利用导数研究函数的性质【例1】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a≤0，则f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a0，则当x∈0，1a时，f′(x)0；当x∈1a，＋∞时，f′(x)0.所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．目录热点一利用导数研究函数的性质【例1】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．(2)由(1)知，当a≤0，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a0时，f(x)在x＝1a取得最大值，最大值为f1a＝ln1a＋a1－1a＝－lna＋a－1.因此f1a2a－2等价于lna＋a－10.目录热点一利用导数研究函数的性质【例1】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0，1)．目录热点一利用导数研究函数的性质(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解lna＋a－10，则需要构造函数来解.探究提高目录【训练1】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数).(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围.热点一利用导数研究函数的性质解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)0，即(－x2＋2)ex0，因为ex0，所以－x2＋20，解得－2x2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0对x∈(－1，1)都成立，因为f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，目录热点一利用导数研究函数的性质所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1，1)都成立.因为ex0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1，1)都成立，即a≥x2＋2xx＋1＝（x＋1）2－1x＋1＝(x＋1)－1x＋1对x∈(－1，1)都成立.令y＝(x＋1)－1x＋1，则y′＝1＋1（x＋1）20.所以y＝(x＋1)－1x＋1在(－1，1)上单调递增，所以y(1＋1)－11＋1＝32.即a≥32.因此实数a的取值范围为a≥32.目录热点二利用导数研究函数的零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围.目录【例2】设函数f(x)＝lnx＋mx，m∈R．(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数．热点二利用导数研究函数的零点或曲线交点问题解析(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋ex，其定义域为(0，＋∞)．则f′(x)＝x－ex2，由f′(x)＝0，得x＝e.∴当x∈(0，e)，f′(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)，f′(x)0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.目录【例2】设函数f(x)＝lnx＋mx，m为正常数．(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数．热点二利用导数研究函数的零点或曲线交点问题(2)由题设g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x0)．设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，目录【例2】设函数f(x)＝lnx＋mx，m为正常数．(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数．热点二利用导数研究函数的零点或曲线交点问题∴x＝1是φ(x)唯一的极值点，且是极大值点，③当0m23时，函数g(x)有两个零点；∴φ(x)的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知①当m23时，函数g(x)无零点；目录【例2】设函数f(x)＝lnx＋mx，m为正常数．(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数．热点二利用导数研究函数的零点或曲线交点问题因此x＝1也是φ(x)的最大值点，综上所述，当m23时，函数g(x)无零点；当实数m＝23时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m23时，函数g(x)有两个零点．②当m＝23时，函数g(x)有且只有一个零点；目录探究提高利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.热点二利用导数研究函数的零点或曲线交点问题目录【训练2】(2017·贵阳七校联考)函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)当a0时，解不等式f(x)≤0；(2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解.热点二利用导数研究函数的零点或曲线交点问题解(1)因为ex0，(ax2＋x)ex≤0.∴ax2＋x≤0.又因为a0，所以不等式化为xx＋1a≤0.所以不等式f(x)≤0的解集为－1a，0.(2)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，由于ex0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等价于ex－2x－1＝0.令h(x)＝ex－2x－1，因为h′(x)＝ex＋2x20对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，目录【训练2】(2017·贵阳七校联考)函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)当a0时，解不等式f(x)≤0；(2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解.热点二利用导数研究函数的零点或曲线交点问题所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，又h(1)＝e－30，h(2)＝e2－20，h(－3)＝e－3－130，h(－2)＝e－20，所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数t的所有值为{－3，1}.目录热点三利用导数研究不等式问题(规范解答)导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式考查，以中高档题为主，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度：(1)证明简单的不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题.目录【例3】(满分12分)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝e2x－alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)≥2a＋aln2a.热点三利用导数研究不等式问题(规范解答)【满分解答】解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－ax(x0).当a0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－ax，因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，当a≤0时，f′(x)0，f′(x)没有零点.………………………2分v(x)＝－ax在(0，＋∞)上单调递增．目录【例3】(满分12分)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝e2x－alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)≥2a＋aln2a.热点三利用导数研究不等式问题(规范解答)所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增.………………………4分又f′(a)0，当b满足0ba4且b14时，f′(b)0，证明(2)由(1)，设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x0)0；故当a0时，f′(x)存在唯一零点．…………………6分当x∈(x0，＋∞)时，f′(x0)0.目录【例3】(满分12分)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝e2x－alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)≥2a＋aln2a.热点三利用导数研究不等式问题(规范解答)故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．……………9分所以f(x0)＝a2a0＋2ax0＋aln2a≥2a＋aln2a.故当a0时，f(x)≥2a＋aln2a.…………………………12分由于2e2x0－ax0＝0，目录❶得分骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分．如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求f(x)的最小值和基本不等式的应用．❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f(x)的定义域，f′(x)在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问，f(x)在x＝x0处最值的判定．❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证．如第(1)问中，求导f′(x)准确，否则全盘皆输，求解使f′(b)0的b满足的约束条件0ba4，且b14.如第(2)问中x0满足条件的计算，若计算错误不得分，另外还应注意规范的文字、符号语言的表述热点三利用导数研究不等式问题(规范解答)目录第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.第一步：根据不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：根据最值证明不等式.热点三利用导数研究不等式问题(规范解答)1.讨论零点个数的答题模板2.证明不等式的答题模板目录【训练3】已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R).(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0