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WORD文档专业资料第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a,a0,|a|0,a0,a,a0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式①f(x)a(a0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是af(x)a。②f(x)a(a0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f(x)a或f(x)a。③22f(x)g(x)f(x)g(x)。（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1.求不等式3x54的解集例2.求不等式2x15的解集例3.求不等式x3x2的解集例4.求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．1WORD文档专业资料例5.解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．例6.已知关于x的不等式|x－5|＋|x－3|＜a有解，求a的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x1x3＞4+x（2）|x+1||x－2|（3）|x－1|+|2x+1|4（4）3x27(5)5x783、因式分解乘法公式（1）平方差公式22(ab)(ab)ab（2）完全平方公式222(ab)a2abb（3）立方和公式2233(ab)(aabb)ab（4）立方差公式2233(ab)(aabb)ab（5）三数和平方公式2222(abc)abc2(abbcac)（6）两数和立方公式33223(ab)a3ab3abb2WORD文档专业资料（7）两数差立方公式33223(ab)a3ab3abb因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：2（1）x－3x＋2；（2）26x7x2（3）2()2xabxyaby；（4）xy1xy．2．提取公因式法例2.分解因式：2（2）x393x23x（1）ab5a5b3．公式法例3.分解因式：（1）a416（2）23x2yxy24．分组分解法2例4.（1）xxy3y3x（2）222xxyy4x5y65．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x的方程20(0)axbxca的两个实数根是x1、x2，则二次三项式2(0)axbxca就可分解为a(xx)(xx).12例5.把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）221xx；（2）2442xxyy．WORD文档专业资料3WORD文档专业资料练习（1）256xx（2）21xaxa（3）21118xx（4）24m12m9（5）257x6x（6）2212xxy6y2qp（7）62pq1123（8）35a2b6ab2a（9）2424xx2（10）x42x21（11）x2y2a2b22ax2by（12）a24ab4b26a12b9(13)x2－2x－1（14）31a；（15）424x13x9；（16）22222bcabacbc；（17）223x5xy2yx9y4第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1)根的判别式2对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有:（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝，2＝24bbac2a；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．(2)根与系数的关系（韦达定理）2如果ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝ba，x1·x2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2yaxbxc的性质1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为xb2a，顶点坐标为2b4acb，。2a4a当xb2a时，y随x的增大而减小；当xb2a时，y随x的增大而增大；当xb2a时，y有最小值24acb4a。WORD文档专业资料4WORD文档专业资料2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb2a，顶点坐标为2b4acb，。当2a4axb2a时，y随x的增大而增大；当xb2a时，y随x的增大而减小；当xb2a时，y有最大值24acb4a.3、二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当240bac时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程200axbxca的两根。这两点间的距离ABxx212b4aca.②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0。2例1.若x1和x2分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两根．（1）求|x1－x2|的值；（2）求1122xx123＋x3．的值；（3）x1222ymxxmmx例2.函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．1个或2个2525xymxmxmx例3.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴mxmxmm必然相交于点，此时．2(21)6yxmxmx例4.抛物线与轴交于两点(x，0)和(x2，0)，若x1x2x1x249，要使抛物线1经过原点，应将它向右平移个单位．WORD文档专业资料xy2mx2(8m1)x8mxm例5.关于的二次函数的图像与轴有交点，则的范围是（）1111mm≥m0mmm0Ａ．Ｂ．且Ｃ．Ｄ．且161616165WORD文档专业资料练习3.一元二次方程ax1和x2．求：2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为xxx（1）|x1－x2|和12233；（2）x1＋x2．2y(k2)x7x(k5)x4.如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标x．025.已知抛物线yaxbxc与y轴交于C点，与x轴交于A(x，0)，B(x，0)(xx)两点，顶点M的121222(1)270224x1x2xmxmx1x210纵坐标为，若，是方程的两根，且．（1）求A，B两点坐标；C（2）求抛物线表达式及点坐标；yax2cxxxx6.若二次函数，当取x、x（）时，函数值相等，则当取xx时，函数值为121212（）acacccＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．1122yxbxcx5、已知二次函数，关于的一元二次方程xbxc0的两个实根是1和5，22则这个二次函数的解析式为第三讲一元二次不等式的解法1、定义：形如ax2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））的不等式做关于x的一元二次不等式。2、一元二次不等式的一般形式：ax2+bx+c＞0（a＞0）或ax2+bx+c＜0（a＞0）WORD文档专业资料3、一元二次不等式的解集：2-4acΔ＞0Δ=0Δ＜0Δ=byyy2+bx+c＞0y=ax（a＞0）的图象x1Ox2xOxx1(x2)Ox6WORD文档专业资料ax2+bx+c=02+bx+c=0x1=24bbac2a（a＞0）的根x2=24bbac2ax1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c＞02+bx+c＞0（a＞0）的解集x＜x1或x＞x2（x1＜x2）x≠-b2a全体实数ax2+bx+c＜02+bx+c＜0x1＜x＜x2无解无解（a＞0）的解集（x1＜x2）4、解一元二次不等式的一般步骤：（1）将原不等式化成一般形式ax2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））；（2）计算Δ=b2-4ac；（3）如果Δ≥0，求方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根；若Δ＜0，方程ax2+bx+c=0（a＞0）没有实数根；（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。例1.解下列不等式：（1）4x2-4x＞15；（2）-x2-2x+3＞0；（3）4x2-4x+1＜0WORD文档专业资料2例2.自变量x在什么范围取值时，函数y=-3x+12x-12的值等于0？大于0？小于0？7WORD文档专业资料例3.若关于x的方程x2-（m+1）x-m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。练习7.解下列不等式：（1）4x2-4x＜15；（2）-x2-2x+3＜0；（3）4x2-4x+1＞022（3）4x-20x＜25；（4）-3x+5x-4＞0；（5）x（1-x）＞x（2x-3）+10WORD文档专业资料8WORD文档专业资料8.m是什么实数时，关于x的方程mx2-（1-m）x+m=0没有实数根？9.已知函数y=122－3x－x34，求使函数值大于0的x的取值范围。含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答.1.二次项系数含参数a（按a的符号分类）例1.解关于x的不等式：2(2)10.axax9WORD文档专业资料例2.解关于x的不等式：2560(0)axaxaa10.按判别式的符号分类例3.解关于x的不等式：240.xax例4.解关于x的不等式：22(m1)x4x10.(m为任意实数)WORD文档专业资料10WORD文档专业资料11.按方程20axbxc的根x1,x2的大小分类。例5.解关于x的不等式：21x(a)x10(a0)a例6.解关于x的不等式：25620(0)xaxaa练习2axa2.解关于x的不等式：x(2)0.2ax3.解关于x的不等式：ax(1)10.2ax4.解关于x的不等式：10.ax2xax25.解关于x的不等式：(1)330a第四讲一元高次不等式及分式不等式的解法1.一元高次不等式的解法WORD文档专业资料1.可解的一元高次不等式的标准形式11WORD文档专业资料(xx)(xx)(xxn)0(0)12（1）左边是关于x的一次因式的积；（2）右边是0；（3）各因式最高次项系数为正。12.一元高次不等式的解法穿根法：（1）将高次不等式变形为标准形式；（2）求根xxx，画数轴，标出根；1,2,,n（3）从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“由右往左穿，由上往下穿，奇穿偶不穿”。(4)写出所求的解集。例1.(x1)(x2)(x3)0例2.2x(x1)(x2)(x1)0例3.(x1)(x2)(3x)0WORD文档专业资料12WORD文档专业资料例4.2(x2)(x3)(x2x1)0例5.2(x1)(x2)(x4x5)0例6.322xx2x10练习13.2(x1)(x3)(x6x8)014.22(3x2x8)(1x2x)015.22(x2x3)(x6x7)016.22(x4x5)(xx1)017.23(x2)(x3)(x6)(x8)013WORD文档专业资料18.42320xxx19.33230xxx6.分式不等式的解法例1.（1）xx320与x3x20解集是否相同，为什么？（2）xx320与320解集是否相同，为什么？xx通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：fx（1）0fxgx0gx（2）fxgxfx0gxgx00解题方法：穿根法。解题步骤：（1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。例2.解不等式：2x3x22x7x120WORD文档专业资料14WORD文档专业资料例3.解不等式：2x9x112x2x17例4.解不等式：2x5x62x3x20(0)例5.解不等式：2x12x1x33x223x例6.解不等式：2xx13练习解不等式：20.x23x021.2x1x3115WORD文档专业资料22.2x3x22x2x3023.221xxx2024.32x1xx62x3025.xx932x026.10x1x7.无理不等式的解法1、无理不等式的类型：f(x)0f(x)g(x)型