3 单相液体渗流数学模型

1第三章单相液体渗流数学模型2单相流：只有一种流体的流动。“油气层渗流数学模型”就是用数学语言综合描述油气层渗流过程中全部力学现象和物理化学现象的内在联系和运动规律的方程式（或方程组）。一个完整的油气层渗流数学模型包括两部分：一部分是描述油气渗流的综合微分方程，另一部分是其相应的定解条件（包括初始条件和边界条件）。3第一节渗流数学模型的建立原则第二节渗流数学模型的微分方程第三节渗流数学模型的定解条件4第一节渗流数学模型的建立原则5一、建立数学模型的基础油气渗流力学的研究方法：是把一定地质条件下油气渗流的力学问题转换为数学问题，对数学问题利用合适的方法求解后，运用到油气田开发的实际生产中。将渗流过程中的各种力学、物理、化学现象和规律，用数学语言进行描述，实际上就是用微分方程或微分方程组对这些现象和规律加以表达。由于渗流的形态和类型不同，它们遵循的力学规律有差异，伴随渗流过程出现的物理化学现象也不同，因此油气渗流数学模型的类型很多。62.实验基础利用渗流物理基础实验认识力学现象和规律，是建立数学模型的关键。一、建立数学模型的基础1.地质基础孔隙结构：与数学模型相对应边界条件：几何形状、边界性质、参数分布、初始条件：原始状况7无穷小微元体上：分析力学现象，物理量之间内在联系，建立微分方程（数学模型）。数学模型建立后，用数学理论论证是否有解？连续？唯一？3.科学的数学方法•微分法8运动方程（必须）状态方程（弹性）质量守恒方程（连续性方程）（必须）能量守恒方程（非等温）附加方程（如：扩散方程）初始条件和边界条件（必须）二、渗流数学模型的结构渗流数学模型要综合反映渗流过程中，各种现象（力学、物理学、化学及相互作用）的内在联系。9数学模型解决的问题有四类：（1）压力分布，p=f(x,y,z,t)（2）渗流速度分布，v=f(x,y,z,t)（3）饱和度分布，S=f(x,y,z,t)（4）界面移动规律，分界面~t三、建立渗流数学模型的步骤1、确定建立模型的目的和要求明确数学模型解决什么问题。102、研究各物理量的条件和情况（1）过程状况：等温？非等温？（2）系统状况：油藏？气藏？单组分？多组分？（3）相态状况：单相？多相？混相？（4）流态状况：线性渗流？非线性渗流？非牛顿渗流？物理化学渗流？113、确定未知量和其它物理量之间关系（1）渗流速度与压力梯度：写出运动方程（2）物性参数与压力：写出状态方程（3）渗流速度或饱和度与时间：写出连续性方程（4）其它物理化学作用的函数关系：能量转换方程、扩散方程124、写出数学模型综合微分方程组连续性方程作为综合方程，其它方程代入连续性方程，得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程。5、量纲分析量纲分析可以检验所建数学模型是否正确。检查所建数学模型量纲是否一致，是否是齐次的。136、确定数学模型的适定性数学模型建立后，用数学理论论证是否有解？连续？唯一？7、给出初始条件，边界条件14第二节渗流数学模型的微分方程15一、运动方程服从达西定律：zpKvypKvxpKvzyxgradpKpKv16121ndLdpCvn)(2vvKdLdp服从非达西定律：17二、状态方程描述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为状态方程。1、液体的状态方程dpdVVCLL1定义18Vp设：液体的质量为MLVMdMdVL2dpdC1dpdVVCLL119分离变量，C取为常数，积分：00ddpCppdpdC1)(ln00ppC)(00ppCe20将)(0ppCe展开成麦可劳林级数，只取前两项：00[1()]Cpp式中：p0—大气压力；ρ0—大气压力p0下流体的密度；ρ—任一压力p时流体的密度。)(00ppCe212、岩石的状态方程压力变化会引起孔隙大小发生变化孔隙大小变化引起渗透率的变化pip22∵dpdVVC1dVVVVdVdVbb)/()/(dpdC1定义2300ddpCpp弹性介质的状态方程描述了孔隙介质在符合弹性状态变化范围内，孔隙度的变化规律。当压力降低时，孔隙缩小，将孔隙中部分流体排挤出去，而成为驱动流体的弹性能量。分离变量积分：dpdC1)(00ppCe)](1[00ppC2414woMPa10~~nccccccwo式中：p0—大气压力；φ0—大气压力下岩石的孔隙度；φ—任一压力p时岩石的孔隙度。)](1[00ppC3、气体的状态方程：nRTzPV导压系数：单位距离内压力波传播的地层面积。25质量守恒定律（连续性原理）：在地层中任取一个微小的单元体，在单元体内若没有源和汇存在，那么包含在单元体封闭表面内的流体质量变化应等于同一时间间隔内流体流入和流出质量之差。三、质量守恒(连续性)方程xyz21MMM26在渗流数学模型中，用它来描述渗流过程各种力学规律和物理化学规律之间的内在联系，通过把运动方程、状态方程和其它方程在质量守恒定律上联系起来，成为一个描述渗流过程全部力学过程的微分方程组。27连续性方程的表现形式：描述运动要素（速度、密度、饱和度、浓度）随时间和坐标的变化关系，在稳定渗流时则是描述这些要素和坐标之间的变化。28渗流过程常见的连续性方程单相流体渗流的连续性方程多相流体渗流的连续性方程带传质扩散过程的连续性方程建立连续性方程的方法微分法积分法291.用微分法建立连续性方程在地层中取微小六面体单元xyzM30xyzM在dt时间内，小单元体中流体质量的变化M等于在同一时间内流入小单元体中的流体质量M1与流出小单元体的流体质量M2之差。21MMM31•M点的流速：vx质量流速：vx•M点的质量流速：dydzdtdxxvvxx)2)((•dt时间经M点（ab）流入的质量流量：dxMMMxababdxdydzMMM2)(dxxvvxx32•M点的质量流速：dydzdtdxxvvxx)2)((dxMMMxabab•dt时间经M点（ab）流入的质量流量：2)(dxxvvxx33六面体在dt时间内x方向流入流出的质量流量差：dxdydzdtxvx)(dydzdtdxxvvxx)2)((dydzdtdxxvvxx)2)((34同理，在dt时间内y、z方向流入流出的质量流量差分别为：dydxdzdtyvy)(dzdxdydtzvz)(35在dt时间内六面体内流入与流出的总质量流量差为：dxdydzdtzvyvxvzyx)()()(36经过六面体流入与流出的质量不同，是因在六面体岩石和液体弹性能量的作用下，释放或储存一部分质量的结果（岩石的弹性表现为孔隙度的变化，液体的弹性表现为液体密度的变化）。六面体内的质量变化应为：六面体内的孔隙体积：dxdydz六面体内的流体质量：dxdydz单位时间内流体质量变化率：dxdydzt)(dt时间流体质量的总变化率：dxdydzdtt)(37dt时间内六面体总质量变化：等于在dt时间内流入与流出的质量差：tzvyvxvzyx)()()()(单相均质可压缩流体在弹性介质中渗流的质量守恒方程（连续性方程）dtdxdydztdxdydzdtzvyvxvzyx)()()()(流入流出质量差六面体内质量变化380)()(vdit散度()yxzvvvdivvxyztzvyvxvzyx)()()()(39如果不可压缩流体（ρ=常数）在刚性介质中流动（=常数），则连续性方程为：0)(vdi物理意义：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的质量与流出的质量相等，它仍然是一个质量守恒方程式——稳定渗流的连续性方程。0)()(vdit40四、典型渗流数学模型的微分方程1、单相不可压缩液体稳定渗流微分方程（推导）假设单相液体在均质介质中的渗流为满足线性渗流规律的等温稳定渗流过程，不考虑多孔介质及流体的压缩性。运动方程gradpKv410)(vdiv连续性方程由上述两个方程得：0)(gradpKdi422222220pppxyz拉普拉斯方程0)()()(zpzypyxpx因K/μ=常数，则：02p单相不可压缩液体在均质地层中稳定渗流的数学模型4302222222zpypxpp2Laplace算子0)(p0v0)(vdiv等价于44适用条件：单相均质液体线性运动规律不考虑多孔介质及流体的压缩性稳定渗流渗流过程等温2222220pppxyz45第三节渗流数学模型的定解条件46边界条件：在研究区域上，对物理过程空间位置状况的规定条件。这类问题称为“边值问题”。定解条件：边界条件和初始条件初始条件：在研究区域上，对物理过程开始瞬间状况的规定条件。即初始条件是对时间而规定的条件，这类问题称为“初始值问题”。如开始状况的压力分布、饱和度分布等。47一、渗流数学模型的三种边界条件1、给出压力的边界条件（给出势函数的边界条件）所研究渗流问题在边界所有点的压力（直接给出边界上的压力或势值）),,,(tzyxfp48当遇到这类边界条件时，流动域无论何时都是相邻连续液体的一部分。特殊情况：界面上的压力为常数，即：p=常数（定压边界）。在偏微分方程理论中，这类边界条件问题称为“第一类边值问题”，又称狄里赫利（Derichlet）问题。492、给出流动速度的边界条件（给出流量或流速的边界条件）(,,,)vfxyzt),,,(tzyxgnp给出边界上的流速n50流动：沿着这类边界上各点的法线方向。稳定流动：用位置函数来描述边界上所有点的流动。不稳定流动：用位置及时间函数来边界上所有点的流动。给出流动速度边界条件可以通过压力p的导数来表示。n在偏微分方程理论中，这类边界条件问题称为称为“第二类边值问题”，又称纽曼（Neumann）问题。513、给出混合边界条件（第三类边界条件）同时用压力函数和它的法线导数线性组合形式来限定边界),,(]),,([zyxfpzyxnpn这类边界条件称为第三类边界条件。在多孔介质渗流中较少，通常都是第一类边界条件和第二类边界条件。弹性开采时，边界可分为定压边界与封闭边界两种情况。52作业1、连续性的原理是什么？2、简述建立油气渗流数学模型由哪些构成？又有哪些构成是必须的？3、简述单相不可压缩液体在均质地层中稳定渗流的数学模型的适用条件。4、弹性开采时，边界可分为什么边界？5导压系数的定义