高考数学知识点、解题方法和技巧汇编精讲

高考数学知识点汇编（全套）函数1.函数的定义（1）映射的定义：(2)一一映射的定义：上面中是映射的是_____________,是一一映射的是____________。(3)函数的定义：（课本第一册上.P51）2.函数的性质（1）定义域：（南师大P32复习目标）（2）值域：（3）奇偶性（在整个定义域内考虑）①定义：②判断方法：Ⅰ.定义法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(xf；d.比较)()(xfxf与或)()(xfxf与的关系。Ⅱ图象法③已知：)()()(xgxfxH若非零函数)(),(xgxf的奇偶性相同，则在公共定义域内)(xH为偶函数若非零函数)(),(xgxf的奇偶性相反，则在公共定义域内)(xH为奇函数④常用的结论：若)(xf是奇函数，且定义域0，则)1()1(0)0(fff或；若)(xf是偶函数，则)1()1(ff；反之不然。（4）单调性（在定义域的某一个子集内考虑）①定义：②证明函数单调性的方法：Ⅰ.定义法步骤：a.设2121,xxAxx且；b.作差)()(21xfxf；（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）c.判断正负号。Ⅱ用导数证明：若)(xf在某个区间A内有导数，则)0)(Axxf，（’)(xf在A内为增函数；)0)(Axxf，（’)(xf在A内为减函数。③求单调区间的方法：a.定义法：b.导数法：c.图象法：d.复合函数)(xgfy在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则)(xgf为增函数；若f与g的单调性相反，则)(xgf为减函数。注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。④一些有用的结论：a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；c.在公共定义域内增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。d.函数)0,0(baxbaxy在,,abab或上单调递增；在abab，或00,上是单调递减。（5）函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使)()(xfTxf恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。例：（1）若函数)(xf在R上是奇函数，且在01，上是增函数，且)()2(xfxf则①)(xf关于对称；②)(xf的周期为；③)(xf在（1，2）是函数（增、减）；④）时，，（若10x)(xf=x2，则)(log1821f。（2）设)(xf是定义在),(上，以2为周期的周期函数，且)(xf为偶函数，在区间[2，3]上，)(xf=4)3(22x,则时，]2,0[x)(xf=。3、函数的图象1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。2、图象的变换（1）平移变换①函数)0(),(aaxfy的图象是把函数轴的图象沿xxfy)(向左平个单位得到的移a；②函数)0(),(aaxfy的图象是把函数轴的图象沿xxfy)(向右平个单位得到的移a；③函数)0(,)(aaxfy的图象是把函数轴的图象沿yxfy)(向上平个单位得到的移a；④函数)0(,)(aaxfy的图象是把函数轴的图象沿yxfy)(向下平个单位得到的移a。（2）对称变换①函数)(xfy与函数)(xfy的图象关于直线x=0对称；函数)(xfy与函数)(xfy的图象关于直线y=0对称；函数)(xfy与函数)(xfy的图象关于坐标原点对称；②如果函数)(xfy对于一切,Rx都有)(axf)(axf，那么)(xfy的图象关于直线ax对称。③函数)(xafy与函数)(xafy的图象关于直线ax对称。④)(xfy)(xfy⑤)(xfy)(xfy⑥)(1xfy与)(xfy关于直线xy对称。（3）伸缩变换①)0(),(axafy的图象，可将)(xfy的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(a或缩短)10(a到原来的a倍。②)0(),(aaxfy的图象，可将)(xfy的图象上的每一点的横坐标伸长)10(a或缩短)1(a到原来的a1倍。例：（1）已知函数)(xfy的图象过点（1，1），则)4(xf的反函数的图象过点。（2）由函数xy)21(的图象，通过怎样的变换得到xy2log的图象？4、函数的反函数1、求反函数的步骤：①求原函数)(xfy，)(Ax的值域B②把)(xfy看作方程，解出)(yx；③x，y互换的)(xfy的反函数为)(1xfy，)(Bx。2、函数与反函数之间的一个有用的结论：abfbaf)()(13、原函数)(xfy在区间],[aa上单调递增，则一定存在反函数，且反函数)(1xfy也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。例1：)1(2log3xy，)0(x的反函数为。2：已知)0(,32)(2xxxxf，求)12(xfy的反函数。3：设)0(,329)(1fxfxx则。4：四十五分钟能力训练题十（13题）。5、函数、方程与不等式1、“实系数一元二次方程02cbxax有实数解”转化为“042acb”，你是否注意到必须0a；当a=0时，“方程有解”不能转化为042acb。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。设21,xx为方程)0(,0)(axf的两个实根。①若,,21mxmx则0)(mf；②当在区间),(nm内有且只有一个实根，时，③当在区间),(nm内有且只有两个实根时，④若qxpnxm21时注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。②注意端点，验证端点。例：1、对于定义在R上的函数,14)(2xmxxf若其所以的函数值都不超过1，则m的取值范围。2、已知函数]41)([22logxaaxy的定义域是一切实数，则a。3、若关于x的方程01222aaxx有实根，则a。4、设集合A=0342xxx，B是关于x的不等式组05)7(20222xaxaxx的解集，试确定a的取值范围，使BA。5、已知方程012mmxx的两个根为一个三角形两内角的正切值，试求m的取值范围。考虑端点，验证端点。)2(0)()()1(nfmf0)(0)(20nfmfnabm0)()(0)()(qfpfnfmf直线、平面、简单几何体一、知识结构另注：三余弦公式？其中为线面角，为斜线与平面内直线所成的角，为？二、主要类型及证明方法（主要复习向量法）1、定性：（1）直线与平面平行：向量法有几种证法；非向量法有种证法。（2）直线与平面垂直：向量法有几种证法；非向量法有种证法。（3）平面与平面垂直：向量法有几种证法；非向量法有种证法。2、定量：（1）点P到面的距离d=|||||,cos|nnPAnPAPA（2）异面直线之间的距离：（同上）（3）异面直线所成的角：nPA,coscos（4）直线与平面所成的角：nPA,cossin（5）锐二面角：nm,coscos三、例题1.设集合A＝{正四面体}，B＝{正多面体}，C＝{简单多面体}，则A、B、C之间的关系为(A)A.ABCB.ACBC.CBAD.CAB2.集合A＝{正方体}，B＝{长方体}，C＝{正四棱柱}，则A、B、C之间的关系为(B)A.ABCB.ACBC.CABD.BAC3.长方体ABCD－A'B'C'D'中，E、F、G分别是AB、BC、BB'上的点，则△EFG的形状是(C)A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形4.长方体的一条对角线与同一顶点处的三条棱所成角分别为α、β、γ，则有(A)A.cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1B.sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1C.cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2D.sin2α＋sin2β＋sin2γ＝35.长方体的一条对角线与同一顶点处的三个面所成角分别为α、β、γ，则有(B)A.cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1B.sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1C.cos2α＋cos2β＋cos2γ＝3D.sin2α＋sin2β＋sin2γ＝26.长方体ABCD－A'B'C'D'中，∠D'BA＝45º,∠D'BB'＝60º，则∠D'BC＝(C)A.30ºB.45ºC.60ºD.75º7.长方体的全面积为11，所有棱长之和为24，则这个长方体的一条体对角线长为(C)A.23B.14C.5D.68.棱锥的底面积为S，高位h，平行于底面的截面面积为S'，则截面与底面的距离为()A.(S－S')hSB.(S＋S')hSC.(S－S')hSD.(S＋S')hSA9.三棱锥P－ABC的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的()A.内心B.外心C.垂心D.重心B10.三棱锥P－ABC的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的()A.内心B.外心C.垂心D.重心B11.三棱锥P－ABC的三个侧面与底面所成的二面角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的()A.内心B.外心C.垂心D.重心A12.三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的()A.内心B.外心C.垂心D.重心C13.三棱锥V－ABC中，VA＝BC,VB＝Ac,VC＝Ab，侧面与底面ABC所成的二面角分别为α、β、γ(都是锐角)，则cosα＋cosβ＋cosγ＝()A.1B.2C.12D.13A14.四面体的四个面中，下列说法错误的是()A.可以都是直角三角形B.可以都是等腰三角形C.不能都是顿角三角形D.可以都是锐角三角形C15.正n棱锥侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成角为β，则tanα∶tanβ＝()A.sinπnB.cosπnC.sin2πnD.cos2πnB16.一个简单多面体的各个面都是三角形，且有6个顶点，则这个多面体的面数为()A.4B.6C.8D.10C17.正八面体的相邻两个面所成二面角的大小为()A.arccos13B.π－arccos13C.π2－arccos13D.－arccos13B18.正方体的全面积为a2，它的顶点都在一个球面上，这个球的表面积为()A.πa23B.πa22C.2πa2D.3πa2B19.一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5，且它的顶点都在一个球面上，这个球的表面积为()A.202πB.252πC.50πD.200πC20.在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，那么这个球面的面积是()A.2πa2B.3πa2C.4πa2D.6πa2B21.北纬30º的圆把北半球面积分为两部分，这两部分面积的比为()A.1∶1B.2∶1C.3∶1D.2∶1A22.地球半径为R，在北纬30º的圆上有两点A、B，A点的经度为东经120º，B点的经度为西经60º，则A、B两点的球面距离为()A.13πRB.32πRC.12πRD.23πRD23.球面上有三个点，其中任意两个点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这三个点的小圆周长为4π，那么这个球的半径为()A.43B.23C.2D.3B24.球面上有三个点A、B、C，其中AB＝18,BC＝24,AC＝30，且球心到平面ABC的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为()A.103B.10C.20D.30A25.在北纬60º圈上有甲、乙两地