高考数学空间向量及其运算复习

要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法延伸·拓展误解分析第5课时空间向量及其运算要点·疑点·考点1.若a、b是空间两个非零向量，它们的夹角为θ(0≤θ≤π)，则把a、b的数量积定义为|a||b|cosθ，记作a·b.即a·b=|a||b|cosθ.2.a·b=b·a，(a+b)·c=a·c+b·c返回3.若a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，则a·b=x1x2+y1y2+z1z2222222212121212121zyxzyxzzyyxxbabacosθ1.在以下四个式子：a+b·c，a·(b·c)，a(b·c)，|a·b|=|a|·|b|中正确的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)0个2.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9)，如果a与b为共线向量，则()(A)x=1,y=1(B)(C)(D)3.已知四边形ABCD中，AB=a-2c，CD=5a+6b-8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF=_______________2121yx，2361yx，2361yx，课前热身AC3a+3b-5c返回4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下面给出四个命题：①(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2②A1C·(A1B1-A1A)=0.③AD1与A1B的夹角为60°④此正方体体积为：|AB·AB1·AD|则错误命题的序号是______(填出所有错误命题的序号).5.若A、B、C三点在同一条直线上，对空间任意一点O，存在m、n∈R，满足OC=m·OA+n·OB，则m+n=___.③、④1能力·思维·方法1.已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b，OC=c，试用a,b,c来表示OG.【解题回顾】(1)此例用到的常用结论为：若AD是△ABC的中线，则有(2)此例是常用结论即重心定理：当OA、OB、OC两两垂直时，在空间直角坐标系中，重心坐标公式为：ACABAD21333321321321zzzyyyxxxG，，2.已知正三棱锥P—ABC中，M，N分别是PA，BC的中点，G是MN的中点.求证：PG⊥BC.【解题回顾】要证PG⊥BC，只要证PG·BC=0，应选择适当的基底：PA，PB，PC.3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC交BD于O，G为CC1中点.求证：A1O⊥平面GBD.【解题回顾】欲证A1O⊥平面GBD，只要证A1O垂直于面BDG中两条相交直线，易看出A1O⊥BD，而OG与A1O垂直较为易证.(注：此题亦可用空间坐标来证明).4.沿着正四面体O—ABC的三条棱OA，OB，OC的方向有大小等于1，2和3的三个力f1，f2，f3，试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦.返回【解题回顾】引入OA、OB、OC方向上的三个单位向量是本题得到解决的关键.延伸·拓展5．已知三角形的顶点是A(1，-1，1)，B(2，1，-1)，C(-1，-1，-2)．试求这个三角形的面积.返回【解题回顾】本题实际上是给出了三角形的“向量型”面积公式.到目前为止，你一共知道多少种求三角形面积的方法呢?误解分析返回已知|a|=4，|b|=5，|a+b|=√21，求a·b．【分析】确定两个向量的夹角，应将它们平移，使始点重合，这时这两个向量间的夹角才是所要求的角．本题中∠ABC不是a与b的夹角，而是-a与b的夹角(试画图观察)，即a与b的夹角应是∠ABC的补角，所以πππθ323πxθ0-102154cosθbaba