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中级质量专业理论与实务精讲班主讲老师：张斌三、统计量（一）统计量的概念考试大纲要求掌握统计量的概念不含未知参数的样本函数称为统计量。（二）常用统计量考试大纲要求掌握样本均值、样本中位数、样本极差、样本方差、样本标准差和样本变异系数的概念及计算方法。第三节统计基础知识1．描述样本集中位置的统计量（1）样本均值样本均值用x表示。它是样本数据x1，x2，……，xn的算术平均值：XX第三节统计基础知识（2）样本中位数样本中位数用Me表示。将样本数据从小到大排列为有序样本，样本中位数定义为有序样本中位置居于中间的数值，即XX第三节统计基础知识,当n为奇数,当n为偶数（3）样本众数样本众数用Mod表示，它是样本数据中出现频率最高的值。XX第三节统计基础知识2．描述样本分散程度的统计量（1）样本极差样本极差用R表示，对有序样本（2）样本方差样本方差为离差平方和除以（n-1），用S2表示第三节统计基础知识样本方差可用以下简化公式计算：或（3）样本标准差样本标准差为样本方差的正算术平方根，即注：标准差的量纲与数据的量纲一致。（4）样本变异系数样本标准差与样本均值之比称为样本变异系数，记为Cυ：第三节统计基础知识【例题·多选】设总体X的均值μ未知，方差σ2已知，则（）为统计量。答案及分析：不合未知参数的样本函数是统计量，因此，x(n)，x(1)是统计量，故选A、C、D。第三节统计基础知识A.B.C.D.【例题·单选】从一个总体中随机抽取了两个样本，一个样本的样本量为20，样本均值为158，另一个样本的样本量为10，样本均值为152，则将它们合并为一个样本，其样本均值为（）。A．153B．154C．155D．156答案及分析：设x1，x2，……，x20为总体的一个样本，均值为158；y1，y2，……，y10为总体的一个样本，均值为152。两个样本合并后的样本量为30，其样本均值为：(158×20+152×10)／30=156。故选择D。第三节统计基础知识【例题·单选】有一个分组样本如下：区间纽中值频数(145，155]1504(155，165]1608(165，175]1706(175，185]1802该分组样本的均值为（）。A．165B．164C．163D．162第三节统计基础知识答案及分析：因为所以选择C。第三节统计基础知识【例题·多选】设x1，x2，……，xn是一个样本，则样本方差S2的计算公式正确的有（）。第三节统计基础知识A.B.C.D.E.答案及分析：样本方差定义为离差平方和除以（n-1），即第三节统计基础知识所以选择ACD【例题·多选】样本量为2的样本x1，x2的方差是（）。第三节统计基础知识A.B.C.D.答案及分析：因为n=2，所以样本x1，x2的方差第三节统计基础知识所以选择A、C、D。四、抽样分布考试大纲要求熟悉抽样分布概念；熟悉t分布、分布和F分布的由来。1．抽样分布的概念统计量的分布称为抽样分布。第三节统计基础知识2．样本均值F的抽样分布（1）当总体分布为正态分布N（μ,σ2）时，其样本均值x的抽样分布（精确地）为（2）当总体分布不为正态分布时，只要其总体均值μ与总体方差σ2存在，则在n较大时，其样本均值x的抽样分布近似服从第三节统计基础知识3．三大抽样分布（1）t分布设x1，x2，……，xn是来自正态总体N（μ，σ2）的一个样本，则有而服从自由度为n-1的t分布，记为t（n-1）。第三节统计基础知识（2）x2分布设x1，x2，……，xn是来自正态总体N（μ，σ2）的一个样本，则有样本方差第三节统计基础知识，而服从自由度为n-1的x2分布，记为（3）F分布设有两个相互独立且方差相等的正态总体N（μ1，σ2）和N（μ2，σ2），又设x1，x2，……，xn是来自N（μ1，σ2）的一个样本；y1，y2，……，ym是来自N（μ2，σ2）的一个样本。它们的样本方差比的分布服从自由度为n-1和m-1的F分布，记为F（n-1，m-1）。第三节统计基础知识【例题·多选】设x1，x2，……，xn是来自正态总体N（μ1，σ2）一个样本，x与S分另为其样本均值与样本标准差，则在下列表达式中正确的有（）。第三节统计基础知识A.B.C.D.第三节统计基础知识答案及分析：因为总体，所以因此而用标准s代替上式中的d，则故选择A、D。第三节统计基础知识【例题·单选】设ta是t分布的a分位数，则有（）。A.B.C.D.答案及分析：因为t分布是对称分布，故有，即，所以选择D。一、点估计1．点估计的概念考试大纲要求熟悉点估计的概念用于估计未知参数θ的统计量称为点估计（量）。第四节参数估计2．点估计优良性标准考试大纲要求熟悉点估计优良性标准（1）无偏性：设是θ的一个估计，若有E（）=θ或E（-θ）=0，称是θ的一个无偏估计。（2）有效性：设和。都是未知参数θ的无偏估计，若有Var（）≤Var（），称比作为的估计更有效。第四节参数估计【例题·多选】设总体均值为μ，方差为σ2，标准差为σ，从该总体得到一个随机样本，则下面叙述中正确的有（）。A．样本均值是μ的无偏估计B．样本中位数Me是μ的无偏估计C．样本方差S2是σ2的无偏估计D．样本标准差S是σ的无偏估计第四节参数估计答案及分析：∴∵样本均值是总体均值μ的无偏估计。同理，样本方差S2是总体方差σ2的无偏估计。∴选A、C。第四节参数估计【例题·单选】正态方差σ2的无偏估计是（）案及分析：因为正态方差σ2的无偏估计是故选择C。第四节参数估计A.B.C.D.3．求点估计的方法——矩法估计掌握矩法估计方法；熟悉二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布参数的点估计。考试大纲（1）用样本矩去估计相应总体矩。（2）用样本矩的函数去估计相应总体矩的函数。此种获得未知参数的点估计的方法称为矩法估计。第四节参数估计第四节参数估计二、区间估计考试大纲要求熟悉区间估计（包括置信水平、置信区间）的概念；熟悉正态均值方差和标准差的置信区间的求法。第四节参数估计1.概念设θ是总体的一个待估参数，其一切可能取值组成的参数空间为Θ，记x1，x2，…xn为来自总体的一个样本，对给定α（0α1），确定两个统计量：和若对任意有，则称随机区间是θ置信水平为1-a的置信区间，称为0的1-α的置信下限与置信上限。第四节参数估计【例题·单选】：设X～N（μ，0.09）从中随机抽取样本量为4的样本，其样本均值为，则总体均值μ的0.95的置信区间为（）。第四节参数估计A.D.B.C.答案及分析：X～N（μ，0.09），σ=0.3为已知。在σ为已知的情况下总体均值弘的95%置信区间为，现在n=4，α=1-0.95=0.05，所以置信区间为：或为故选择B第四节参数估计【例题·多选】：在作参数θ的置信区间中，置信水平1-α=90％是指（）。A．对100个样本，定有90个区间能覆盖θB．对100个样本，约有90个区间能覆盖θC．对100个样本，至多有90个区间能覆盖θD．对100个样本，可能有89个，也可能有91个区间覆盖θ第四节参数估计答案及分析：在作参数θ的置信区间中置信水平1-α=90％，是指对100个样本，约有90个区间能覆盖θ；对100个样本，可能有89个也可能有91个区间覆盖θ。所以选择B、D。第四节参数估计2．正态总体参数的置信区间正态总体均值、方差、标准差的1-α置信区间见下表：第四节参数估计参数条件1-a置信区间μσ已知μσ未知σ2μ未知σμ未知【例题·多选】正态标准差σ的1-α置信区间依赖于（）。A．总体均值B．样本量C．样本标准差D．t分布的分位数E．X2分布的分位数第四节参数估计答案及分析：正态标准差σ的1-α置信区间为：因此与S（S2）和X2分布的分位数有关。所以选择B、C、E。第四节参数估计【例题·单选】采用包装机包装食盐，要求500g装一袋，已知标准差σ=3g，要使食盐每包平均重量的95％置信区间长度不超过4.2g，样本量，n至少为（）A．4B．6C．8D．10第四节参数估计答案及分析：在σ已知的情况下，μ的95%的置信区间为：其中则置信区间长度第四节参数估计即因此n＞7.84，所以选择C。一、基本思想与基本步骤考试大纲要求掌握原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域、两类错误、检验水平及显著性的基本概念；掌握假设检验的基本步骤。1．假设检验的基本思想根据所获样本，运用统计分析方法，对总体X的某种假设H0作出接受或拒绝的判断。第五节假设检验2．基本步骤（1）建立假设如H0：μ=μ0（μ0为给定已知常数），这是原假设，与H0相反的假设是H1:μ≠μ0，这是备择假设。（2）选择检验统计量，给出拒绝域的形式。（3）给出显著性水平α。（4）确定临界性C，给出拒绝域W。（5）判断。第五节假设检验【例题·单选】在假设检验中，接受原假设H0时，可能（）错误。A．犯第一类B．犯第二类C．既犯第一类，又犯第二类D．不犯任一类第五节假设检验答案及分析：接受原假设H0，但实际原假设H0不真，由于抽样的随机性，样本落在接受域内，从而导致接受H0，犯第二类错误，其发生的概率为β。所以选择B。第五节假设检验【例题·单选】假设检验中的显著性水平α表示（）。A．犯第一类错误的概率不超过αB．犯第二类错误的概率不超过αC．犯两类错误的概率之和不超过αD．犯第一类错误的概率不超过1-α答案及分析：假设检验中显著性水平α表示当原假设H0为真时而拒绝原假设的概率（即犯第一类错误的概率）的最大值。故选择A。第五节假设检验【例题·多选】关于假设检验的两类错误，α是显著性水平，下列描述正确的有（）。A．犯拒真错误的可能性不超过αB．犯取伪错误的可能性不超过αC．α取值越小，拒绝域也会越小D．假设检验申，接受原假设H0时，可能犯第一类错误E．犯第一类错误的概率α与犯第二类错误的概率β之间是相互关联的，降低α时，β也会随之降低第五节假设检验答案及分析：在假设检验中，口是犯第一类错误（拒真错误）的概率（可能性），β是犯第二类错误（取伪错误）的概率（可能性）。α越小，拒绝域也会越小，因此拒绝原假设的可能性减小。理论研究表明α小必导致β大。故选择A、C。第五节假设检验【例题·多选】可以作为原假设的命题有（）。A．两个总体方差相等B．两个样本均值相等C．总体不合格品率不超过0.01D．样本中的不合格品率不超过0.05答案及分析：因为关于总体参数的命题可以作为原假设，样本统计量是随机度量，不能作为原假设。故选择A、C。第五节假设检验二、正态总体参数的假设检验考试大纲要求掌握正态总体均值和方差的检验。单个正态总体均值μ，方差σ2的检验如下表（α为显著性水平）：第五节假设检验检验法条件H0H1检验统计量拒绝域μ检验σ已知μ≤μ0μ≥μ0μ＝μ0μ＞μ0μ＜μ0μ≠μ0｛μ＞μ1-α｝｛μ＜μα｝｛|μ|＞μ1-α/2｝t检验σ未知μ≤μ0μ≥μ0μ＝μ0μ＞μ0μ＜μ0μ≠μ0｛t＞t1-α(n-1)｛t＜tα(n-1)｝｛|t|t(1-α/2)(n-1)｝X2检验μ未知σ2≤σ02σ2≥σ02σ2＝σ02σ2＞σ02σ2＜σ02σ2≠σ02｛x2＞x2（1-α）(n-1)｝｛x2＜x2α(n-1)｝｛x2＜x2α/2(n-1)或x2＜x21-α/2(n-1｝第五节假设检验【例题·单选】设x1，x2，……，xn是从某正态总体随机抽取的一个样本，在σ未知情况下，考察以下假设的检验问题：H0:μ=μ0，H1:μ≠μ0则给定口下，该检验拒绝域为（）。A．|t|tα(n-1)B．|t|t(1-α)(n-1)C．|t|tα/2(n-1)D．|t|t(1-α/2)(n-1)第五节假设检验答案及分析：在σ未知的情况下，采用t检验法，检验H0:μ=μ0．H，H1:μ≠μ0，则根据上表可知拒绝域为|t|t(1-α/2)(n-1)，故选D。第五节假设检验【例题·单选】为了判断改进后的日产量是否比原来的200（千克）有所提高，抽取了20天的日产量数据，发现日产量的平均值为201（千克），以下结论正确的有（）。A．只提高1千克，产量的提高肯定是不显著的B．日产量平均值为201（千克），确定比原来有所提