行列式典型例题

第五节典型例题n阶行列式的计算是学习线性代数的基础，在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌握的基本方法是：1.用n阶行列式的性质把一般行列式化成特殊行列式（如上三角行列式等）来计算。2.用n阶行列式的展开定理，把行列式按某一行（列）展开，即化高阶行列式为低阶行列式来计算。(Laplace定理)3.其他方法：对于具有特殊形式的行列式，有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等.证明用数学归纳法21211aaD12aa,)(21ijjiaa）式成立．时（当12n证明范得蒙(Vandermonde)行列式例1nijjinnnnaaaaaaaaaaaVnnn1212121)(111111222(1)阶范德蒙行列式成立，1）对对1假设设n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaVnnnnnnnnn就有提出，因子列展开，并把每列的公按第)(11aai)()())((211312jnijinnaaaaaaaaV).(1jnijiaa223223211312111)())((nnnnnnaaaaaaaaaaaan-1阶范德蒙行列式注意：范德蒙行列式是等于零a1,a2,…,an中至少有两元素相等.例2计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。.111222333222nnnVnnnn，于是得到增至幂次数便从则方若提取各行的公因子，递升至而是由变到序排列，但不是从次数自左至右按递升次方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个10.1,10,nnnDn解.!1212121333122211111nnnVnnnnn上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知!.1!2)!2()!1(!)]1([)2()24)(23()1()13)(12(!)(!1nnnnnnnnnVnijjinaannnnnxaaaaxaaaaxaaaaxD321321321321例3计算n阶行列式加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素外分别是某个数的倍数.)(321321321321nxaaaaxaaaaxaaaaxnnnnnD)1(00001321321321321321nxaaaaxaaaaxaaaaxaaaannnnn)1(00010001000100011332211321naxaxaxaxaaaannn这种形式的行列式简称“两边加一对角线”行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行列式而求得其值，所以)1(100010100100101000111333222111nxaaxaaxaaxaaDnnnn)1(100000100000100000101)(33322211111nxaaxaaxaaxaaxaaxannnniiiiniii)1()1()(11niiiinniiixaaxa)1()(11niiiiniiiaxaax例4xaaaaxaaaaxaaaaxDn计算n阶行列式解将左上角的x改写为(xa)＋a，第一列的(a)均改写为0＋(a)，于是第一列各元素均为两项之和，于是xaaaaaaxaaaaxaaaxaaaxaaaaxDn00011)()(nnnaxaDaxD即（1）利用类似的方法，可得xaaaxaaaaxaaxaaaxDn0011)()(nnaxaDax（2）故从式（1）与（2）中可以消去Dn-1])()[(21nnnaxaxDxaaaaxaaaaxaaaaxDn例5计算n阶行列式解法1化为三角行列式此题的特点与§2例6相同.把各行都加到第一行上，然后提出公因式x+(n1)a，得xaaaaxaaaaxaanxDn1111])1([(-a)(-a)(-a)axaxanx0000111])1([1)]()1([naxanx解法2化为两边加一对角线行列式xaaaaxaaaaxaaaaxDn(-1)(-1)(-1)axxaaxxaaxxaaaax0000001)]()1([naxanxaxaxaxaaaanx000000000)1(加边法将Dn添加一行、一列，构成n+1阶行列式。xaaaxaaaxaaaDDnn00011解法3(-1)(-1)(-1)把行列式的第2、3、···、n+1列分别提出公因子x-a，得axaxaxaaa00100100111010111axaaxa1000010000101)(axaaxaaxaaxnaaxn1)]()1([naxanx解法4递推法将Dn的第一列元素都写成两个元素之和，然后将Dn拆成两个n阶行列式的和，再利用递推关系xaaaxaaaaaxDn00)(xaaaxaaaaaaaxaaax0011)()(nnaxaDax122)(])())[((nnnaxaaxaDaxax122)(2)(nnaxaDax1)1(1)()1()(nnnnaxanDax])1([)(11anDaxn1)]()1([naxanx例6计算行列式21001200012100012100012nD解：此类型行列式称为三对角线型，常采用方法是将两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法.21001200012100012100012nD)21(21001200012100012/3000012)32(21001200013/4000012/3000012=…=nnnn/)1(0001/)1(00013/4000012/3000012=n+1.例7用行列式定义计算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD的非零元素分别得到行可能中第那么，由行的元素分别为中第设5,4,3,2,1,,,,,5,4,3,2,1554321554321DaaaaaDppppp解.3,2;3,2;5,4,3,2,1;5,4,3,2,1;3,254321ppppp.05,,,,,554321Dppppp故元排列也不能组成，一个在上述可能取的代码中因为