行列式及其应用论文

I目录1.引言.......................................................................................................................................................22.行列式的概念.......................................................................................................................................22.1排列与逆序....................................................................................................................................22.2n阶行列式的定义.........................................................................................................................22.3行列式的基本性质.......................................................................................................................32.4行列式按行（列）展开定理.......................................................................................................42.5重要公式与结论...........................................................................................................................52.6范德蒙德行列式的性质...............................................................................................................63.行列式的若干应用...............................................................................................................................63.1行列式在线性方程组中的一个应用（克拉默法则的应用）....................................................63.2行列式在初等代数中的几个应用................................................................................................73.2.1用行列式分解因式.................................................................................................................83.2.2用行列式证明不等式和恒等式.............................................................................................83.3.行列式在解析几何中的几个应用................................................................................................83.3.1用行列式表示公式（泰勒公式的行列式表示法）.............................................................83.3.2用行列式表示三角形面积.....................................................................................................83.3.3用行列式表示直线方程.........................................................................................................94.范德蒙德行列式的若干应用.............................................................................................................104.1范德蒙德行列式在行列式计算中的应用..................................................................................104.2范德蒙德行列式在微积分中的应用..........................................................................................104.3范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用..............................................................................124.4范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用..............................................................................12结论........................................................................................................................................................13致谢........................................................................................................................................................141行列式及其应用任兰兰,数学计算机科学学院摘要:行列式是线性代数一个重要的基本工具.本文首先对行列式的相关概念做了介绍,包括行列式的定义,性质,常见公式及结论等,然后通过例题详细介绍了行列式在线性方程组,初等代数以及解析几何中的应用,以及范德蒙行列式在微积分以及向量空间等方面的应用等.文章最后对行列式及其应用做了总结.关键词:行列式;范德蒙德行列式;克拉默法则TheDeterminantsandTheirApplicationsAbstract:Thedeterminantisoneoftheelementarytoolsinlinearalgebra.Wefirstintroducethecorrespondingconceptionsofthedeterminants,suchasthedefinition,theproperties,theordinaryformulasandconclusions,thenwediscussindetailtheapplicationsofthedeterminantsinlinearequations,elementaryalgebra,andanalyticgeometryandsoon,wealsodiscusstheapplicationsoftheVandermondedeterminantincalculusandvectorspace.Finallywesummarizetheadvantagesofthedeterminants.Keywords:Determinant;Vandermondedeterminant;Cramerrule21.引言行列式是研究数学问题的重要工具之一,行列式的运算使问题的解决变得简单,让我们首先来介绍行列式有关的重要概念,定理,公式及其性质.其次我们介绍行列式的若干应用.2.行列式的概念2.1排列与逆序定义1n级排列:由n个自然数1,2,,n组成的一个无重复的有序数组12niii称为一个n级排列,n级排列共有!n个.定义2逆序:在一个n级排列中,如果一个较大的数排在一个较小数之前,就称这两个数构成一个逆序,一个排列中逆序的总数,称为这个排列的逆序数.用12()niii或表示排列12niii的逆序数.如果排列12niii的逆序数为偶数,则称它为偶排列.如果排列的逆序数为奇数,则称它为奇排列.定义3对称:排列12niii中,交换任意两数ti与si的位置,称为一次对换.对换改变排列的奇偶性.任何一个排列都可经过若干次对换变成自然顺序,并且所作对换的次数与这个排列有相同的奇偶性.例2.1.1求下列排列的逆序数,并确定它们的奇偶性(1)53214;(2)(1)321nn;(3)135(21)246(2)nn解（1）(53214)=4+2+1+0=7为奇排列.（2）(1)((1)321)=(n-1)+(n-2)++2+1=2nnnn由于(1)2nn的奇偶性需根据n而定,故讨论如下：当4nk时,(1)2(41)2nnkk是偶数;当41nk时,(1)2(41)2nnkk是偶数;当42nk时,(1)(21)(41)2nnkk是奇数;当43nk时,(1)(21)(43)2nnkk是奇数.综上所述,当4nk或41nk时,此排列为偶排列;当42nk或43k时,此排列为奇排列,其中k为任意非负整数.（3）该排列中前n个数1,3,5,,(21)n之间不构成逆序,后n个数2,4,6,,2n之间也不构成逆序,只有前n个数与后n个数之间才构成逆序.(1)(135(21)246(2))012(1)2nnnnn,奇偶性情况与（2）完全一样.2.2n阶行列式的定义由2n个元素(,1,2,,)ijaijn组成的记号3121211121212221212==(1)nnnntppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa其中12,nppp为自然数1,2,,n的一个排列,t为这个排列的逆序数,求和符号12nppp是对所有排列12nppp求和.n阶行列式D中所含2n个数叫做D的元素,位于第i行第j列的元素ija叫做D的(,)ij元.例2.2.1若12335544iiaaaaa是五阶行列式中带有正号的一项,求,ij的值?解由行列式的定义知,每一项应取自不同行不同列的五个元素之积,因此,ij只能取,ij,当2,1ij时，此时应取负号;当1,2ij时,11233552441123354452aaaaaaaaaa,且(13542)4为偶排列.所以1,2ij.2.3行列式的基本性质（1）行列式与它的转置行列式的值相等,即TDD.111211121121222122221212=nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa（2）互换行列式的任意两行