行列式的若干应用

行列式的若干应用TheNumberofApplicationsofTheDeterminants专业:数学与应用数学作者:蔺绍俄指导老师:周立仁湖南理工学院数学与应用数学系二○○九年五月岳阳湖南理工学院本科毕业论文I摘要行列式是数学研究中的一类重要的工具之一,它的应用非常广泛.本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述:探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用;举例说明了行列式在初等代数中的应用,如在因式分解中应用,证明不等式以及恒等式;最后综述了行列式在解析几何中的若干应用.关键词:行列式;矩阵;线性方程组;秩;因式分解;平面组;点组湖南理工学院本科毕业论文IIAbstractDeterminantisakindofimportanttoolsinthemathematicalstudy,itisaverywiderangeofapplications.Inthispaper,wehavebeentodiscussfromthefollowingthreeaspectsoftheapplicationsofthedeterminants:Toexploretherelationshipbetweenthedeterminantandlinearequationsandtheapplicationinthesolutionoflinearequations;examplesoftheapplicationofthedeterminantinalgebra,suchastheapplicationoffactorization,toprovethatinequalityandidentity;inthefinal,wehavemadeoverviewofthenumberofapplicationsofthedeterminantsinanalyticgeometry.Keywords:Determinant;Matrix;Linearequations;Rank;Factorization;Planegroup;Pointgroup湖南理工学院本科毕业论文目录摘要..................................................................IAbstract................................................................II0引言...................................................................11行列式在线性方程组中的一个应用.........................................12行列式在初等代数中的几个应用...........................................22.1用行列式分解因式..................................................22.2用行列式证明不等式和恒等式........................................33行列式在解析几何中的几个应用...........................................43.1用行列式表示公式..................................................43.2行列式在平面几何中的一些应用......................................63.3行列式在三维空间中的应用..........................................8参考文献................................................................15湖南理工学院本科毕业论文第1页,共15页0引言行列式是研究数学的重要工具之一.例如线性方程组（见文[1]-[5]）、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置(见文[2])、初等代数（见文[9]）、解析几何（见文[6]-[8]）、n维空间的投影变换、线性微分方程组等,用行列式来计算是很便利的.本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.1行列式在线性方程组中的一个应用设含有n个变元的1n个一次线性方程组为.0,0,0,122,111,122221211212211nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1）设方程组（1）的系数矩阵A的秩是1n,不失一般性,假定不等于零的1n阶行列式是nnnnnnaaaaaaaaaA,13,12,122322113121.行列式1A中的元素,就是矩阵A中去掉第一列的元素以后剩下的元素,并按照它们的原有位置排列.我们把nxxx,,,32看作是未知数,1x是已知数,解方程组(1),得11Axdxii),,3,2(ni（2）式中id是行列式1d的第1i列元素换以1,12111,,,naaa所成的行列式.也就是湖南理工学院本科毕业论文第2页,共15页nninninnnniiniiiaaaaaaaaaaaaaaaaaad,11,11,11,13,12,121,2211,2232211,1111,11312.把id中第1i列移到第一列,得nnininnnniiniiiiaaaaaaaaaaaaaaad,11,11,12,11,121,21,2222111,11,112112)1(.上式右边的行列式用iA表示,行列式iA是矩阵A中去掉第i列剩余下的元素所组成.故iiiAd2)1(.代入（2）式,得112)1(AxAxiii,或111)1(AxAxiii.结论[2]:方程组（1）中的nxxx,,,21与nnAAAA1321)1(,,,,成比例,式中iA),,2,1(ni是从矩阵A中去掉第i列剩余下的元素做成的行列式.2行列式在初等代数中的几个应用2.1用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键,是把所给的多项式写成行列式的形式,并注意行列式的排列规则.下面列举几个例子来说明.例2.1.1分解因式：323232323232baccbaacbbcaabccab.解222222()()()abcbcbcacacabab原式()()()abcbccbabacabba111111caaabcbcacabbcb湖南理工学院本科毕业论文第3页,共15页111010bcabcaabcabcabcabbccaacbacbcba()()()()abcabbcbaacbcca()()()()abcbacbacabca()()()abcabcabc.例2.1.2分解因式:))((4)(2dbcabcabcd.解原式2()2()cdababbcbccdcdab22()(2)cdababcdbcbccdabcdbc1(2)2()1cdababcdbcbccd2(2)abcdbc.2.2用行列式证明不等式和恒等式我们知道,把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上,行列式不变;如果行列式中有一行（列）的元素全部是零,那么这个行列式等于零.利用行列式的这些性质,我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例2.2.1已知0cba,求证abccba3333.证明令abccbaD3333,则0000321acbbacacbbaccbacbacbaacbbaccbaDrrr.命题得证.例2.2.2已知,1,1,1aycxcybxbyax求证222cbacabcab.证明令)(222cbacabcabD,则湖南理工学院本科毕业论文第4页,共15页0000111111213cbacbacybxcbaycxacbyaxbacbacbaDycxcc命题得证.例2.2.3已知0cba,求证accbbacabcab333333.证明令)(333333cabcabaccbbaD,则2131222222222222111100ccccabbccaabbcabcaabbcabcaabDcbacacbcacbc()()()()()()bcabcbcacbacac()()()()bcacabcac而0cba,则0D,命题得证.3行列式在解析几何中的几个应用3.1用行列式表示公式3.1.1用行列式表示三角形面积以平面内三点),(),,(),,(332211yxRyxQyxP为顶点的PQR的面积S是11121332211yxyxyx(3)的绝对值.证明将平面),(),,(),,(332211yxRyxQyxP三点扩充到三维空间,其坐标分别为112233(,,),(,,),(,,)xykxykxyk,其中k为任意常数.由此可得：2121(,,0)PQxxyy,3131(,,0)PRxxyy则湖南理工学院本科毕业论文第5页,共15页21213131(0,0,)xxyyPQPRxxyyPQR面积为1sin,2SPQPRPQPR=12PQPR22121313112xxyyxxyy2121313112xxyyxxyy112121313111020xyxxyyxxyy11223311121xyxyxy.3.1.2用行列式表示直线方程直线方程通过两点),(11yxP和),(22yxQ的直线PQ的方程为01112211yxyxyx.（4）证明由两点式,我们得直线PQ的方程为212212yyyyxxxx.将上式展开并化简,得021122121yxyxyxyxxyxy此式可进一步变形为0111122112121yxyxxxyyyx此式为行列式(4)按第三行展开所得结果.原式得证.3.1.3应用举例例若直线l过平面上两个不同的已知点11(,)xy,22(,)xy,求直线方程.湖南理工学院本科毕业论文第6页,共15页解设直线l的方程为0cbyax,不全为0,因为点),(),,(2211yxyx在直线l上,则必须满足上述方程,从而有.0,0,02211cbyaxcbyaxcbyax这是一个以cba,,为未知量的齐次线性方程组,且cba,,不全为0,说明该齐次线性方程组有非零解.其系数行列式等于0,即01112211yxyxyx.则所求直线l的方程为01112211yxyxyx.同理,若空间上有三个不同的已知点),,(),,,(),,,(333222111zyxCzyxzyx,平面S过C,,,则平面S的方程为01111333222111zyxzyxzyxzyx.同理,若平面有三个不同的已知点),(),,(),,(332211yxCyxyx,圆O过C,,,则圆O的方程为0111133232322222211212122yxyxyxyxyxyxyxyx.3.2行列式在平面几何中的一些应用3.2.1三线共点平面内三条互不平行的直线湖南理工学院本科毕业论文第7页,共15页.0,0,0333322221111cybxaLcybxaLcybxaL相交于一点的充要条件是0333222111cbacbacba.3