行列式的计算方法

引言.....................................................1一、行列式的定义及性质...................................2（一）行列式的定义及相关公式..........................2（二）n级行列式的性质：...............................4二、行列式的计算.........................................6（一）行列式的基本计算方法............................61、定义法:.........................................62、三角形法：......................................73、降阶法:........................................124、换元法：.......................................145、递推法：.......................................156、数学归纳法：...................................167、目标行列式法：.................................18（二）行列式的辅助计算方法...........................191、加边法：.......................................192、析因子法：.....................................213、连加法：.......................................214、拆项法:........................................225、乘积法：.......................................23结束语..................................................24参考文献：..............................................261行列式的计算方法摘要行列式是线性代数理论中极其重要的组成部分，是高等数学的一个基本的概念。行列式产生于解线性方程组中，并且也是最早应用于解线性方程组中，并且在其他学科分支都有广泛的应用，可以说它是数学、物理学以及工科许多课程的重要学习工具。行列式也为解决实际问题带来了许多方便。本文针对行列式这一数学工具，进行系统讨论，从不同的角度理解了行列式的定义，重点证明了行列式性质，介绍一些展开定理，总结了行列式的几种计算方法，如定义法、三角形法、降阶法、换元法、递推法、数学归纳法及目标行列式法。辅助方法有：加边法、析因子法、乘积法、连加法、拆项法等，并结合例题说明行列式计算的技巧性和灵活性。关键词行列式，计算方法，线性方程组。TheCalculationofDeterminantLiuHui(CollegeofMathematicsandPhysicsBohaiUniversityLiaoningJinzhou121000China)AbstractThedeterminantistheextremelyimportantconstituentinthelinearalgebratheory,itisabasicconceptofhighermathematics.Thedeterminantisevolvedfromandsolvedthelinearequationgroup,andisappliedtosolveinthelinearequationgroupfirst,moreoverallhasthewidespreadapplicationinotherdisciplinebranches,wecansaythatitisanimportantstudytoolwhichinmathematics,thephysicsaswellastheengineeringcoursemanycurricula.Thedeterminantalsobroughtaboutconvenientforthesolutionactualproblem.Thisarticleinviewofthedeterminantthismathematicalinstrument,carriesonthesystemdiscussion,hadunderstoodfromthedifferentangletothedeterminantdefinition,hadproventhenatureofthedeterminantonemphasis,introducedsomeexpansiontheorem,summarizedseveralcomputationalmethodsofthedeterminant,suchasdefiningthelaw,triangularlaw,lowerthestepslaw,changeyuansoflaw,isitpushawaylaw,mathematicalinductionandgoaldeterminantlawtopass,Thehouseholdermethodisasfollows,addthelaw,analysethefactorlaw,productlaw,eventheaddition,dismantlealawandsoon,andunionsamplequestionshowingdeterminantcomputationskillandtheflexibility.KeywordsOrderdeterminat;Computingtechnology;Lineshapeequationgroup.引言2行列式是线性代数中重要的一部分，它的产生和最早的应用都是在解线性方程组中，虽然相对整个线性代数领域来说，它只是一小部分，但是它的作用不可忽视，有着重要的地位。因为在一些数学问题中，往往会涉及到行列式问题，而行列式的计算是解决问题的关键。不过它现在的应用范围已拓展得很广泛，成为很多学科的重要工具。国际上一些知名的数学家如:克兰姆(cramer),拉普拉斯(laplace),范得蒙(vandermonde)等都对行列式有着深入的研究,并为行列式的计算奠定了理论基础。行列式的解题方法灵活多样，技巧性强，有些问题只靠一种方法还不能解决，所以本文就行列式的多种基本方法和辅助方法进行归纳总结以及进行例证说明。这些方法与技巧也许不能包含所有解法，但随着知识的发展我们相信还会有更新的，更好的方法来解决行列式的计算问题。一、行列式的定义及性质（一）行列式的定义及相关公式在高等代数（线性代数）教科书中,对行列式都有如下介绍:1、二级行列式的定义1112112212212122aaaaaaaa2、三级行列式的定义111213212223112233122331132132132231313233122133112332.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa33、n级行列式的定义121212111212122212121nnnnjjjnnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa也就是说n级行列式nnnnnnaaaaaaaaa.....................212222111211等于所有取自不同行不同列的几个元素的乘积(*)...2121njnjjaaa的代数和。这里njjj...21是1,2…n的一个排列，当njjj...21是偶排列时，(*)式取正号，当njjj...21是奇排列时(*)式取负号。定义法是计算行列式的根本方法，对任何行列式都适用即n级行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。4、将行列式按行（或列）展开1112112112212.....................,...............niiiniiiiininnnnnaaadaaaaAaAaAaaa其中i=1、2、…、n,ijA是元素ija的代数余子式。5、降阶定理BCADADCBA1，其中A、B、C、D都是数域P上的方阵。46、ABAB,其中A、B都是数域P上的方阵。7、CACOBA，其中A、B、C都是数域P上的方阵。8、分块矩阵乘法公式:*;;*;(1).mnAAOABABOBBAOOAABABOBBO其中A、B是数域P上的方阵,m、n为A、B的阶。9、非零矩阵k左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块行列式与原来相等。10、TAA,其中A是数域P上的方阵。11、范德蒙行列式122221211111211...1......()................nnijjinnnnnaaadaaaaaaaa（二）n级行列式的性质：性质1：行列互换，行列式不变。nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211性质2：一个数乘以行列式的某一行，等于该这个数乘以此行式5nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211性质3：如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这个行列式除这一行外全与原来行列式的对应的行一样。nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa212111211212111221221111211性质4：如果行列式中有两行相同，那么行列式为为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素相等。性质5：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。0211212111211211212111211nnniniiiniinnnniniiiniinaaaaaaaaaaaakaaakakakaaaaaaa性质6：对换行列式中两行的位置，行列式反号。性质7：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性质8：若行列式D的所有元素都加上同一个数，则其代数余子式之和不变。即：6nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211，1Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnn212222111211则nijijAxDD11,其中ijA是1D中的。性质9：若行列式某一行元素都等于1，则行列式等于其所有代数余子式之和。性质10：设nnijaD，则D的代数余子式之和等于nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa112211113123211311212221121111二、行列式的计算（一）行列式的基本计算方法1、定义法:应用n级行列式的定义计算其值的方法，称为定义法。由行列式计算的定义知，nnnnjjjjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)...(...212222111211)1(.....................也就是说n级行列式nnnnnnaaaaaaaaa.....................212222111211等于所有取自不同行不同列的几个元素的乘积(*)...2121njnjjaaa的代数和。这里njjj...21是1,2…n的一个排列，当njjj...21是偶排列