区间型不确定多属性决策方法及应用

第2篇区间型不确定多属性决策方法及应用随着社会、经济的发展，人门所考虑问题的复条性、不确定性以及人类思维的模糊性在不断增强．在实际决决过程中，决策信息有时以区间数形式来表达。本章将介绍区间型正理想点、区间型负理想点等概念．区间数之间比较的可能度公式以及可能度公式之间的关系，并且分别介绍基于可能度、基于投影模型、逼近正理想点的多属性决策方法．本章对上述方法均进行了实例分析第1节基于可能度的多属性决策方法一、区间数比较的可能度公式记[,]LUaaa{|,,}LULUxaxaaaR称为a区间数，特别地，当LUaa时，退化为一个实数。a先给出区间数的运算法则。设[,]LUaaa和[,]LUbbb，且0，则设[,]LUaaa和[,]LUbbb，且0，则（1）ab当且仅当LLab和.UUab（2）[,].LLUUababab（3）[,]LUaaa0，其中，特别地，若0，则0.a定义4.1当,ab均为实数时，则称1,()1/2,0,Pabab当时ab当时ab当时（4.1）为的可能度。ab定义4.2当,ab至少有一个为区间数时，且记min{,max(,0)}()ULababllabPabll（4.2）为的可能度。ab,ULalaa,ULblbb则称()Pabp设，则记的次序关系为,abpabmin{,max(,0)}()ULababllabPabll例设，，求。()Pab[2,3]a[1,6]b解1,al5,bl3,Ua1,Lbmin{,max(,0)}()ULababllabPabllmin{15,max(31,0)}1153所以，0.33ab定义4.3当,ab至少有一个为区间数时，且记()min{max(,0),1}ULababPabll（4.3）为的可能度。ab,ULalaa,ULblbb则称()min{max(,0),1}ULababPabll例设，，求。()Pab[2,3]a[1,6]b解1,al5,bl3,Ua1,Lb所以，0.33ab()min{max(,0),1}ULababPabll31min{max(,0),1}15min{1/3,1}1/3定义4.4当,ab至少有一个为区间数时，且记（4.4）为的可能度。ab,ULalaa,ULblbb则称max{0,max(,0)}()ULababllbaPabllmax{0,max(,0)}()ULababllbaPabll例设，，求。()Pab[2,3]a[1,6]b解1,al5,bl2,La6,Ub所以，0.33abmax{0,15max(62,0)}1153max{0,max(,0)}()ULababllbaPabll定义4.5当,ab至少有一个为区间数时，且记()max{1max(,0),0}ULabbaPabll（4.5）为的可能度。ab,ULalaa,ULblbb则称可以证明以上4个定义是等价的。()max{1max(,0),0}ULabbaPabll例设，，求。()Pab[2,3]a[1,6]b解1,al5,bl2,La6,Ub所以，0.33.ab()max{1max(,0),0}ULabbaPabll62max{1max(,0),0}max{1max(,0),0}15ULabball21max{1,0}33根据上述3种定义，可以证明下列结论均成立。定理4.1设，，则[,]LUaaa[,]LUbbb0()1Pab（1）（2）()1Pab当且仅当ULba（3）()0Pab当且仅当ULab（4）（互补性）()()1PabPba特别地，()1/2.Paa（5）()1/2Pab当且仅当.ULULaabb特别地，()1/2Pab.ULULaabb（6）（传递性）对于3个区间数若,,,abc当且仅当()1/2Pbc()1/2Pab且则()1/2Pac定义1.8设摸糊判断矩阵，若有则称矩阵B是模糊互补判断矩阵()ijnnBb1,0.5,ijjiiibbb例0.50.40.60.20.60.50.30.80.40.70.50.10.80.20.90.5B为模糊互补判断矩阵。定理2.2设模糊互补判断矩阵对矩阵B(),ijnnBb按行求和得1niijjbb1,2,,in则可依据的序关系对区间ib(1,2,,)in[,]LUiiiaaa(1,2,,)in进行排序。1()[0.1888,0.1972],zw2()[0.2068,0.2198],zw3()[0.1988,0.2070],zw4()[0.1874,0.1970],zw5()[0.1874,0.1962].zw例比较下列5个区间大小解：由可能度矩阵()min{max(,0),1}ULababPabll0.5000.54440.569810.50.99061110.00940.5110.4556000.50.52170.4302000.47830.5P对于矩阵P按行求和：51iijjpp1,2,,5i0.5000.54440.569810.50.99061110.00940.5110.4556000.50.52170.4302000.47830.5P11.6142,p2,4.4906p3,3.5094p4,1.4773p51.4085.p231450.990610.54440.5217()()()()()zwzwzwzwzw由11.6142,p2,4.4906p3,3.5094p4,1.4773p51.4085.p得到第3节决策方法步骤1对于某一多属性决策问题，属性的权重完全确知(即为实数)。对于方案，按属性进行测度，得到关于的属性值(这里)．从而构成决策矩阵．最常见的属性类型为效益型和成本型．设分别表示效益型、成本型的下标集．为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，可用下列公式将决策矩阵转化为规范化矩阵，其中ixjuixjuija[,]LUijijijaaa()ijnnAa12,IIA()ijnnRr[,].LUijijijrrr2121/()/()nLLUijijijinUULijijijiraaraa11,2,,,injI(4.9)2121(1/)/(1/)(1/)/(1/)nLULijijijinULUijijijiraaraa21,2,,,injI(4.10)例4．3某地区盛产生皮．为了开发该地区的制革工业，考虑列生产资源的分布情况及其他与制革工业有关因素(属性)，其中所考虑的属性有:—能源需求量(100kw．h/d)；—水的需求量(10万加仑／天)；—废水排放方式(十分制)；—工厂和设备成本(百万美元);—作业成本(百万美元/年)；—有关地区的经济发展(十分制);—研究开发机会(十分制)；—投资报酬(以1为基数).请标准化决策矩阵。1u2u3u4u5u6u7u8u表4.5决策矩阵1x2x3x4x5x1u2u3u[1.5,1.9]A[2.7,3.1][1.8,2.0][2.5,2.8][2.0,2.5][9.0,9.5][5.0,6.0][5.0,6.0][8.5,9.1][4.0,5.0][8.0,9.0][9.0,9.5][7.0,8.0][9.0,10][8.0,9.0]4u[10,12][4.0,5.0][8.0,9.0][6.0,7.0][5.0,6.0]表4.5决策矩阵1x2x3x4x5x5u6u7u[12,13]A[7.0,7.5][8.5,9.0][2.0,3.0][9.0,10][8.0,9.0]8u[1.2,1.3][8.0,9.0][6.0,7.0][4.0,5.0][8.0,9.0][6.0,7.0][5.0,6.0][8.0,9.0][7.0,8.0][8.0,9.0][5.0,6.0][5.0,6.0][1.1,1.2][1.0,1.3]在上述属性中，能源需求量()、水的需求量()。工厂和设备成本()和作业成本为成本型外，其他均为效益型．1u2u4u表4.5决策矩阵1x2x3x4x5x5u6u7u[12,13]A[7.0,7.5][8.5,9.0][2.0,3.0][9.0,10][8.0,9.0]8u[1.2,1.3][8.0,9.0][6.0,7.0][4.0,5.0][8.0,9.0][6.0,7.0][5.0,6.0][8.0,9.0][7.0,8.0][8.0,9.0][5.0,6.0][5.0,6.0][1.1,1.2][1.0,1.3]例如，对于属性7，标准化公式为2121/()/()nLLUijijijinUULijijijiraaraa表4.5决策矩阵1x2x3x4x5x5u6u7u[12,13]A[7.0,7.5][8.5,9.0][2.0,3.0][9.0,10][8.0,9.0]8u[1.2,1.3][8.0,9.0][6.0,7.0][4.0,5.0][8.0,9.0][6.0,7.0][5.0,6.0][8.0,9.0][7.0,8.0][8.0,9.0][5.0,6.0][5.0,6.0][1.1,1.2][1.0,1.3]例如，对于属性7，标准化区间，如222221722222172.0/3106963.0/310696LUrr表4.5决策矩阵1x2x3x4x5x5u6u7u[12,13]A[7.0,7.5][8.5,9.0][2.0,3.0][9.0,10][8.0,9.0]8u[1.2,1.3][8.0,9.0][6.0,7.0][4.0,5.0][8.0,9.0][6.0,7.0][5.0,6.0][8.0,9.0][7.0,8.0][8.0,9.0][5.0,6.0][5.0,6.0][1.1,1.2][1.0,1.3]例如，对于属性7，标准化公式为222221722222172.0/3106960.183.0/295850.22LUrr将决策矩阵转化为规范化决策矩阵，如表4.6所示．AR表4.6规范化决策矩阵R1x2x3x4x5x1u2u3u[0.46,0.71]4u[0.28,0.39][0.44,0.59][0.31,0.42][0.35,0.53][0.26,0.32][0.41,0.58][0.27,0.34][0.41,0.58][0.49,0.73][0.18,0.22][0.20,0.23][0.18,0.22][0.15,0.20][0.20,0.24][0.21,0.31][0.51,0.76][0.28,0.38][0.36,0.51][0.42,0.61]步骤1由(4.9)和(4.10)两式将决策矩阵转化为规范化决策矩阵，如表4.6所示．AR表4.6规范化决策矩阵R1x2x3x4x5x1u2u3u[0.46,0.71]4u[0.28,0.39][0.44,0.59][0.31,0.42][0.35,0.53][0.26,0.32][0.41,0.58][0.27,0.34][0.41,0.58][0.49,0.73][0.18,0.22][0.20,0.23][0.18,0.22][0.15,0.20][0.20,0.24][0.21,0.31][0.51,0.76][0.28,0.38][0.36,0.51][0.42,0.61]或者1/nijijijjraa