对数及其运算

书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奋，努力才能成功！3.2.1对数及其运算勤劳的孩子展望未来,但懒惰的孩子享受现在!!!第一课时一、复习引入小学到初中，我们对数的运算有了深入的了解，加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等运算已经成为我们所熟知的了。我们知道：加法与减法、乘法与除法、乘方与开方之间是互逆的运算。进入高中我们对指数运算也有了一个全新的认识，对于指数运算推广到了指数幂为实数的形式了。指数运算的逆运算又是什么呢？抽象出：5112321.;10.1252x一、问题：x=?1、庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。（1）取5次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？2、假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：18%2xx=?1、对数的定义：一般地，如果a(a0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N那么数b叫做以a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数。②.logbNaaNblogaN①.注意底数的限制，a0且a≠1;③.注意对数的书写格式．说明logaNb对数式与指数式的互化:负数和零没有对数；表达形式abN对应的运算ab=NbN=alogaN=b底数方根底数指数根指数对数幂被开方数真数乘方，由a，b求N开方，由N，b求a对数，由a，N求b比较指数式、根式、对数式：（1）开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。（2）弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键例1:将下列指数式写成对数式：例2:将下列对数式写成指数式：431(1)216;(2)3;271(3)520;(4)()0.45;2ab51310(1)log1253;(2)log32;(3)log1.069.a例3:求下列各式的值：29(1)log64;(2)log27;①.为什么对数的定义中要求底数a0且a≠1；②.是否是所有的实数都有对数呢？思考：31(2)10;10000(4)1;(1)26.2=73.5167;(3)0.53=0.125;课堂练习将下列指数式写成对数式：①.常用对数（commonlogarithm）：以10为底的对数log10N,②.自然对数（naturallogarithm）：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数logeN;两个重要对数：简记为:lgN.简记为:lnN.(在科学技术中,常常使用以e为底的对数)2(1)log62.5850;3(2)log0.80.2031;(3)lg30.4771;(4)ln31.0986;课堂练习将下列对数式写成指数式：巩固练习：P97/1、2、3、4、5求下列各式的值：探索与发现：(1)log31=0(2)lg1=00(3)log0.51=0(4)ln1=你发现了什么?“1”的对数等于零,即loga1=0求下列各式的值：探索与发现：(1)log33=1(2)lg10=11(3)log0.50.5=1(4)lne=你发现了什么?底数的对数等于“1”,即logaa=1求下列各式的值：探索与发现：你发现了什么?2log3(1)27log0.6(2)70.4log89(3)0.430.689logaNaN对数恒等式：求下列各式的值：探索与发现：你发现了什么?对数恒等式：lognaan43(1)log350.9(2)log0.98(3)lne458对数的基本性质1.负数和零没有对数；2.“1”的对数等于零,即loga1=03.底数的对数等于“1”,即logaa=14.logaNaN对数恒等式：5.对数恒等式：lognaan(1)已知x满足等式532log[log(log)]0,.x16求logx的值(2)求值：2.51log6.25lgln100e(3)已知log2,log3,.aaxy3x+2y求a的值93222log512log42log5log32233(4)求下列各式的值思考题:三、归纳小结，强化思想1、引入对数的必要性；2、指数与对数的关系；3、对数的基本性质．四、布置作业：P60习题2.3(1)1、2、3、4第二课时一般地，如果0,1aaa的b次幂等于N,就是baN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaNba叫做对数的底数，N叫做真数。定义：有关性质：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N0）⑵log10,alog1,aa⑶对数恒等式log,aNaNlognaan333log1log3log27lnlg100lg2lg5e⑴⑵⑶课前练习:43?对数的运算性质两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差log()loglogaaaMNMN⑴logloglogaaaMMNN⑵loglog()naaMnMnR⑶语言表达:一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍如果a0，a1，M0，N0有：对数的运算性质说明:2)有时可逆向运用公式3)真数的取值必须是(0,＋∞)4)注意log()aMNloglogaaMNlog()aMNloglogaaMN≠≠1)简易语言表达:”积的对数=对数的和”……例1计算（1）（2）572log(24)5lg100讲解范例解:572log(24)52log272log452log2142log2=5+14=19解:21lg1052lg105255lg100例2讲解范例解（1）解（2）用log,axlog,aylogaz表示下列各式：23(1)log;(2)logaaxyxyzzloglog()logaaaxyxyzz23logaxyzlogloglogaaaxyz11232logloglogaaaxyz112logloglog23aaaxyz11232log()logaaxyz（1）7lg142lglg7lg183例3计算：解法一：7lg142lglg7lg18327lg14lg()lg7lg1832147lg7()183lg1027lg(27)2lg3lg7lg(23)lg2lg72(lg7lg3)lg7(lg22lg3)07lg142lglg7lg183解法二：1⑴若lglg2lg3lg,xabc则______x661log12log22⑵的值为______⑶22log843log843_____________提高练习:23abc122解得：或13x解:原方程可化为444log(31)log(1)log(3).xxx31(1)(3)xxx13x220xx2x(舍去)2x2.解方程1x方程的解是证明:,则两边取以m为底的对数：从而得：∴3.对数换底公式：(a0,a1，m0,m1,N0)logloglogmamNNa奎屯王新敞新疆xaN奎屯王新敞新疆loglogmmNxalogloglogmamNNa奎屯王新敞新疆loglogloglogxmmmmaNxaNlogaNx2.两个常用的推论:①，②（a,b0且均不为1）证：①logloglog1abcbca奎屯王新敞新疆loglogmnaanbbm奎屯王新敞新疆lglgloglog1lglgabbabaab奎屯王新敞新疆②lglglogloglglgmnnamabnbnbbamam奎屯王新敞新疆loglog1abba三、讲解范例：例1求log89.log2732的值．分析：利用换底公式统一底数：一般情况下，可换成常用对数，也可根据真、底数的特征，换成其它合适的底数．例3计算：①②例2.已知,用a,b表示23log3,log7ab42log56解：因为则,又∵,∴2log3a31log2a3log7b33342333log56log73log23log56log42log7log211ababb0.21log3544912log3log2log320.251log3log3555151553232115153log3log2log2224442解：①原式=②原式=对数的运算性质logloglogaaaMMNN⑵loglog()naaMnMnR⑶1如果a0，a1，M0，N0有：课堂小结:log()loglogaaaMNMN⑴2对数运算性质的功能主要有两个：一是化复杂的真数（积或商的形式）为简单的真数；二是将多个同底对数式的和差合为一个对数式。课后作业：2.补充作业:logbaNaNlogloglogmamNNa证明换底公式1.第101页，练习A，1、2、3、4、5，练习B1，2，3，4⑵利用⑴中的换底公式证明logloglog1abcbca⑴利用关系式