幂零矩阵迹的特征

幂零矩阵迹的特征严文（061114228）（孝感学院数学与统计学院湖北孝感432000）摘要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设V是复数域上向量空间，,fg是V上的线性变换，且满足fggff，那么f的所有特征值均为0，并且g和f之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）．我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即ABBA，求证A和B有公共特征向量，并且求出A和B的公共特征向量.关键词：幂零矩阵；迹；特征值；特征向量FeaturesofNilpotentmatrixtraceYANWen(DepartmentofMathematicsandStatistics,Xiaoganuniversity,Xiaogan,Hubei432000,China)Abstract：2009NationalCollegeMathematicsCompetitionProblems(3thitem)：BasedvectorspaceVisthecomplexfield,,fgarethelineartransformation,andsatisfiesfggff,Thenalltheeigenvaluesoffare0,Betweenfandgtherearethesamefeaturevector(notnecessarilyequalthecorrespondingeigenvalue).WeconvertittomatrixanddiscussedinthespecialcircumstancesthatBAAB,Verify:AandBhavepublicfeaturevectors,andeigenvectorsobtainedthepublic.Keywords：Nilpotentmatrix;Trace;Eigenvalue;Eigenvector.1引言在2009年举行的全国大学生数学竞赛中，有这样一道试题：例1假设V是复数域上n维线性空间（0n），,fg是V上的线性变换．如果fggff，证明f的所有特征值都是0，且,fg有公共特征向量．（2009年全国大学生数学竞赛试题）在2002年的苏州大学研究生入学考试中也有类似的试题：例2设V是有理数域Q上的向量空间，,fg是V上的线性变换，其中g可对角化，且满足fggff，证明存在正整数k，使得kf是零变换．（2002年苏州大学研究生试题）由于f的所有特征值都是0f是幂零矩阵，易知例1与例2本质上是属于同一问题．在全国大学生数学竞赛组委会为例1提供的解答中，通过构造一些复杂的生成子空间，证明它们在线性变换f下不变，最后利用fggf的迹为零的结果，间接导出f的任意特征值为0，整个证明复杂繁琐．而例2中条件“g可对角化”过强，能否在例1的条件下直接证明f是幂零矩阵呢？另外，对例1中关于,fg有公共特征向量的问题，一个熟知的结论是命题1[1]若,fg是复数域上n维线性空间V上的线性变换，且fggf，则g和f存在公共的特征向量．尔后由Laffey与Choi在1978-1981年将之推广为命题2[2,3]若,AB都是复数域上的n阶方阵，满足rank()1ABBA，则A和B存在公共的特征向量．对于命题2的证明，通常的方法是把矩阵转化为线性变换问题，考虑其一个特征子空间中存在另一个线性变换的一个特征向量.这种方法虽然在理论上证明了公共特征向量的存在性，但遗憾的是无法求出所有的公共特征向量，以及公共特征向量的具体形式，而这些在理论与应用上都是很有用的[4].从以上诸例及相关结论上看，对线性变换,fg而言，关于hfggf的性质的讨论有重要的意义.在有限维线性空间中，可以把问题转化为对矩阵ABBA的讨论.本文将讨论与解决如下问题：1、关于矩阵ABBA或线性变换fggf的性质；2、对满足fggf或fggff的线性变换,fg，不仅证明,fg之间存在公共的特征向量，而且求出所有的公共特征向量；3、某些逆命题.2性质设,AB为n阶矩阵，令CABBA，则ABBA具有如下基本性质：性质1tr()0ABBA.证明设()ijAa、()ijBb，则11tr()nnikkiikABab，111111tr()()trnnnnnnjttjtjjtikkijttjikBAbaababAB.性质2对任何n阶矩阵,AB，ABBAE.证明反证法假设ABBAE，则由性质1可知()0trEtrABBA，显然矛盾，所以ABBAE.命题得证.性质3设A，B是n阶矩阵，令CABBA，且C同A，B可交换，求证：存在整数m使0mC.证明因为C同A，B可交换即,ACCABCCB，所以有22()()()CACCACACCACAC,即2C与A可交换.同理可证kC（1,2...kn）与A可交换，kC（1,2...kn）与B可交换.下证0ktrC（1,2...kn）.()()()0trCtrABBAtrABtrBA2[()]()()()()()()0trCtrCABBAtrCABtrCBAtrACBtrCBAtrCBAtrCBA同理可证：0,1,2...ktrCkn.下证C的所有特征值为零.设C的所有特征值为n...,21，所以kC的所有特征值为knkk...,21.下面证明n...,21都为零.由0ktrC，12...k，可得：设C的不为零的特征值分别为n...,21，且分别为12,,...,rsss重.则上式可写成：221222221120101......012.........rrkkkrrrrsssssssss令122221212.....................rrrrrrL，所以上式可写成120...rLsss.而由范德蒙行列式可知121...()nijijnL，又C的特征值n...,21互不相等，所以0L，所以上式只有零解，所以C的特征值全为零.若C的所有特征值为零，则根据哈密尔顿-凯莱定理知存在m使0mC.命题得证.注：对于][xP中的线性变换BA,，令)()(),()('xxfxBfxfxAf，则有eBAAB（e为恒等变换）.[13]3可换矩阵的公共特征向量12222121200......0.........nnkkkn命题1若,nnABC，且ABBA，则A与B一定存在公共的特征向量.证明因为nnAC，则A在复数域上一定存在特征值，取A的任一个特征值，考虑的特征子空间nVCA设dimVk，则0k，设12,,,k为V的一组基，则iV，于是有iiA，1,2,,ik.在下面的证明中，我们将证明存在A的属于的一个特征向量，使也是B的一个特征向量，即存在某数使B成立，从而为A与B的公共特征向量.由于12,,,k为V的一组基，设1122kkccc（1）由iiA，则()()()()iiiiABBABB，即得iBV，1,2,,ik.则有ijlC，,1,2,,ijk，使得11112121212122221122kkkkkkkkkkBlllBlllBlll下步将寻找不全为零的12,,,kccc，使（1）成立，并且使为A与B的公共特征向量.1122()kkBBccc1122kkcBcBcB1111212111()()kkkkkkkclllcll1111111()()kkkkkkklclclclc而112211()()()kkkkccccc由B及12,,,k线性无关，得11112211211222221122kkkkkkkkkklclclcclclclcclclclcc（2）即111111kkkkkkllccllcc，记ijkkLl，即得11kkccLcc，也即100kcLc（3）当0L时，上式有非0解，此式说明是L的特征值.命题1证毕.命题1证明了A与B有公共的特征向量，通过定理1的证明，我们还看出，对于A的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在B的特征向量.于是有推论：推论1若复方阵,AB满足ABBA，且A有r个互不相同的特征值，则A与B至少有r个线性无关的公共特征向量.证明设12,,,r是A的r个互不相同的特征值，按照定理1的证明，在A的每个特征子空间iV中都存在B的特征向量i，1,2,,ir，而属于不同特征值的特征向量必线性无关，得12,,,r是A与B的r个线性无关的公共特征向量.推论2若n阶复方阵,AB满足ABBA，且A有n个互不相同的特征值，则存在可逆矩阵P，使得1PAP与1PBP都是对角矩阵.证明由推论1知A与B有n个线性无关的公共特征向量12,,,n，作矩阵12(,,,)nP，则1PAP与1PBP都是对角矩阵.下面，我们通过例子说明如何用定理1中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量.例1求可换矩阵,AB所有的公共特征向量.300131201A，121011220B解容易验证ABBA，A的特征多项式为2300131(1)(3)201EA.所以11，233.对11，由1232001210200xxx，得10x，2312xx，从而基础解系为1012，而11121000111122022B，定理1中的1L为11矩阵，于是1，于是公共特征向量为111102ccc，其中1c为任一不为零的常数对233，由1230001010202xxx，得13xx，从而基础解系为1101，2010，而1121211201101222012B，2121210201111222002B，由命题1可知2211L，22011L，从而有(3)0，对0，12220110cc，得21cc，于是公共特征向量为112()c，即111ccc，其中1c为任意不为零的常数.对3，12120120cc，得122cc，于是公共特征向量为212(2)c，即22222ccc，其中2c为任意不为零的常数.于是所有公共特征向量的形式为：02kk，kkk