挑战压轴题：中考数学压轴题精选精析

E度中考网．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－12x＋b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．【答案】（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝32若直线经过点B（3，1）时，则b＝52若直线经过点C（0，1）时，则b＝1①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图25-a，此时E（2b，0）∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2图1DExyCBAOCDBAEOxyE度中考网（3，32b），D（2b－2，1）∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)·(52b)＋12×3(32b)]＝252bb∴2312535222bbSbbb（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED＝∠NED又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，tan∠DEN＝12，DH＝1，∴HE＝2，设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1aa，∴54a∴S四边形DNEM＝NE·DH＝54∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．【涉及知识点】轴对称四边形勾股定理【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．【推荐指数】★★★★★图3HNMC1A1B1O1DExyCBAODExyCBAO图2E度中考网（10浙江嘉兴）24．如图，已知抛物线y＝－12x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．（10重庆潼南）26.（12分）如图,已知抛物线cbxxy221与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.ABCEDxyo题图26ABCxyo备用图E度中考网（10重庆潼南）26.解：（1）∵二次函数cbxxy221的图像经过点A（2，0）C(0,－1)∴1022ccb解得：b=－21c=－1-------------------2分∴二次函数的解析式为121212xxy--------3分（2）设点D的坐标为（m，0）（0＜m＜2）∴OD=m∴AD=2-m由△ADE∽△AOC得，OCDEAOAD--------------4分∴122DEm∴DE=22m-----------------------------------5分∴△CDE的面积=21×22m×m=242mm=41)1(412m当m=1时，△CDE的面积最大∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分（3）存在由(1)知：二次函数的解析式为121212xxy设y=0则1212102xx解得：x1=2x2=－1∴点B的坐标为（－1，0）C（0，－1）设直线BC的解析式为：y=kx＋b∴10bbk解得：k=-1b=-1∴直线BC的解析式为:y=－x－1在Rt△AOC中，∠AOC=900OA=2OC=1由勾股定理得：AC=5∵点B(－1,0)点C（0，－1）∴OB=OC∠BCO=450①当以点C为顶点且PC=AC=5时，设P(k,－k－1)过点P作PH⊥y轴于H∴∠HCP=∠BCO=450CH=PH=∣k∣在Rt△PCH中k2+k2=25解得k1=210，k2=－210E度中考网∴P1（210，－1210）P2（－210，1210）---10分②以A为顶点，即AC=AP=5设P(k,－k－1)过点P作PG⊥x轴于GAG=∣2－k∣GP=∣－k－1∣在Rt△APG中AG2＋PG2=AP2（2－k)2+(－k－1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)∴P3(1,－2)----------------------------------11分③以P为顶点，PC=AP设P(k,－k－1)过点P作PQ⊥y轴于点QPL⊥x轴于点L∴L(k,0)∴△QPC为等腰直角三角形PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=2k∴AL=∣k-2∣,PL=｜－k－1｜在Rt△PLA中(2k)2=(k－2)2＋(k＋1)2解得：k=25∴P4(25,－27)------------------------12分综上所述：存在四个点：P1（210，－1210）P2（-210，1210）P3(1,－2)P4(25,－27)（10四川宜宾）24．(本题满分l2分)将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．yxCBOAE度中考网（10浙江宁波）26、如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，32），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G。（1）求DCB的度数;（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△FOE，记直线FE与射线DC的交点为H。①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;②若△EHG的面积为33，请直接写出点F的坐标。26、解：（1）60（2）（2，32）（3）①略②过点E作EM⊥直线CD于点M∵CD∥AB∴60DABEDM∴323260sinDEEm∵3332121GHMEGHSEGH∴6GH∵△DHE∽△DEG∴DEDHDGDE即DHDGDE2当点H在点G的右侧时，设xDG，6xDH∴)6(4xx解：11321331x∴点F的坐标为（113，0）当点H在点Ｇ的左侧时，设xDG，6xDH∴)6(4xx解：1331x，1331x（舍）∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ∴133DGAFyxCDAOBEGF（图1）xCDAOBEGHFFy（图2）xCDAOBEy（图3）xCDAOBEy（图3）ＭE度中考网∵5132133AFAOOF∴点Ｆ的坐标为（513，0）综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是1F（113，0），2F（513，0）（10江苏南通）28．（本小题满分14分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．（10浙江义乌）24．如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示2x－1x，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．－1yxO（第28题）1234－2－4－33－1－2－3－4412O1A1OyxB1C1DMCBAOyxDME度中考网（10浙江义乌）24．解：（1）对称轴：直线1x……………………………………………………..…1分解析式：21184yxx或211(1)88yx……………………………….2分顶点坐标：M（1，18）……….…………………………………………..3分（2）由题意得213yy2221221111118484yyxxxx3……………………………………..1分得：212111()[()]384xx