2003考研数学一试题及答案解析

2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题及答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）)1ln(102)(coslimxxx=e1.【分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(limxgxf)1(=)()1)(lim(xgxfe进行计算求极限均可.【详解1】)1ln(102)(coslimxxx=xxxecosln)1ln(1lim20,而212cossinlimcoslnlim)1ln(coslnlim02020xxxxxxxxxx，故原式=.121ee【详解2】因为2121lim)1ln(1)1(coslim22020xxxxxx，所以原式=.121ee【评注】本题属常规题型（2）曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是542zyx.【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根据曲面22yxz切平面的法矢量与}1,4,2{n平行确定.【详解】令22),,(yxzzyxF，则xFx2，yFy2，1zF.设切点坐标为),,(000zyx，则切平面的法矢量为}1,2,2{00yx，其与已知平面042zyx平行，因此有11422200yx，可解得2,100yx，相应地有.520200yxz故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2zyx，即542zyx.【评注】本题属基本题型。（3）设)(cos02xnxaxnn，则2a=1.【分析】将)()(2xxxf展开为余弦级数)(cos02xnxaxnn，其系数计算公式为0cos)(2nxdxxfan.【详解】根据余弦级数的定义，有xdxxdxxa2sin12cos202022=002]22sin2sin[1xdxxxx=000]2cos2cos[12cos1xdxxxxxd=1.【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.（4）从2R的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为2132.【分析】n维向量空间中，从基n,,,21到基n,,,21的过渡矩阵P满足[n,,,21]=[n,,,21]P，因此过渡矩阵P为：P=[121],,,n[],,,21n.【详解】根据定义，从2R的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为P=[121],[21111011],121.=.213221111011【评注】本题属基本题型。（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，yxxyxf其他,10,0,6),(则}1{YXP41.【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0zYXgP，一般可转化为二重积分}),({0zYXgP=0),(),(zyxgdxdyyxf进行计算.【详解】由题设，有}1{YXP121016),(yxxxxdydxdxdyyxf=.41)126(2102dxxxy1DO211x【评注】本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1yx的公共部分D，再在其上积分即可.完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.（6）已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布)1,(N，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(【分析】已知方差12，对正态总体的数学期望进行估计，可根据)1,0(~1NnX，由1}1{2unXP确定临界值2u，进而确定相应的置信区间.【详解】由题设，95.01，可见.05.0于是查标准正态分布表知.96.12u本题n=16,40x,因此，根据95.0}96.11{nXP，有95.0}96.116140{P，即95.0}49.40,51.39{P，故的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.【评注】本题属基本题型.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(xf的图象，本题是其逆问题.完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（2）设}{},{},{nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有(A)nnba对任意n成立.(B)nncb对任意n成立.(C)极限nnncalim不存在.(D)极限nnncblim不存在.[D]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限nnncalim是0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限nnncblim属1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取nan2，1nb，),2,1(21nncn，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0yxxyyxfyx，则(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[A]【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】由1)(),(lim2220,0yxxyyxfyx知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0,且222)(),(yxxyyxfyx,(充分小时），于是.)()0,0(),(222yxxyfyxf可见当y=x且x充分小时，04)0,0(),(42xxfyxf；而当y=-x且x充分小时，04)0,0(),(42xxfyxf.故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度.将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。（4）设向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，则(A)当sr时，向量组II必线性相关.(B)当sr时，向量组II必线性相关.(C)当sr时，向量组I必线性相关.(D)当sr时，向量组I必线性相关.[D]【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，则当sr时，向量组I必线性相关.或其逆否命题：若向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，且向量组I线性无关，则必有sr.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如10,01,00211，则21100，但21,线性无关，排除(A)；01,01,00121，则21,可由1线性表示，但1线性无关，排除(B)；10,01,01211，1可由21,线性表示，但1线性无关，排除(C).故正确选项为(D).【评注】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为nm矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；②若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A)①②.(B)①③.(C)②④.(D)③④.[B]【分析】本题也可找反例用排除法进行分析，但①②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项.【详解】若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)，则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如0001A，1000B，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).【例】齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件(A)r(A)=r(B).(B)A,B为相似矩阵.(C)A,B的行向量组等价.(D)A,B的列向量组等价.[C]有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.（6）设随机变量21),1)((~XYnntX，则(A))(~2nY.(B))1(~2nY.(C))1,(~nFY.(D)),1(~nFY.[C]【分析】先由t分布的定义知nVUX，其中)(~),1,0(~2nVNU，再将其代入21XY，然后利用F分布的定义即可.【详解】由题设知，nVUX，其中)(~),1,0(~2nVNU，于是21XY=122UnVUnV，这里)1(~22U，根据F分布的定义知).1,(~12nFXY故应选(C).【评注】本题综合考查了t分布、2分布和F分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义.三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A;旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】(1)设切点的横坐标为0x，则曲线y=lnx