双曲线习题及答案

圆锥曲线习题——双曲线1.如果双曲线2422yx＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（）(A)364(B)362(C)62(D)322.已知双曲线C∶22221(xyaab＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（A）a(B)b(C)ab(D)22ba3.以双曲线221916xy的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A．221090xyxB．2210160xyxC．2210160xyxD．221090xyx4.以双曲线222xy的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（）Ａ．22430xyxＢ．22430xyxＣ．22450xyxＤ．22450xyx5.若双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)6.若双曲线12222byax的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（）（A）3（B）5（C）3（D）57.过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC．若12ABBC，则双曲线的离心率是()w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．2B．3C．5D．108.已知双曲线)0(12222bbyx的左、右焦点分别是1F、2F，其一条渐近线方程为xy，点),3(0yP在双曲线上.则12PFPF＝（）A.-12B.-2C.0D.4二、填空题9.过双曲线221916xy的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______10.已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPFFaPFFc，则该双曲线的离心率的取值范围是．11.过双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于,MN两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为______12.已知点P在双曲线221169xy上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P点的横坐标是_________13.已知12,FF是双曲线221169xy的两个焦点，PQ是过点1F的弦，且PQ的倾斜角为，那么22||||||PFQFPQ的值是__________14.已知(6,0),(6,0)BC是ABC的两个顶点，内角,,ABC满足1sinsinsin2BCA，则顶点A的轨迹方程是________________15.过双曲线422yx的右焦点F作倾斜角为0105的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP||FQ|的值为__________.16.已知P是双曲线22221xyab上除顶点外任意一点，12,FF为左右焦点，C为半焦距，12PFF内切圆与12FF切于点M，则12||||FMFM的值为__________三、解答题17.如图，在以点O为圆心，||4AB为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，30POB，曲线C是满足||||||MAMB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于．．．22，求直线l斜率的取值范围.18.双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为12ll，，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交12ll，于AB，两点．已知OAABOB、、成等差数列，且BF与FA同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．19.已知双曲线222xy的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的动直线与双曲线相交于AB，两点．（I）若动点M满足1111FMFAFBFO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．20.已知双曲线C的方程为22221(0,0)yxabab，离心率52e，顶点到渐近线的距离为255。（1）求双曲线C的方程；（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,[,2]3APPB，求AOB面积的取值范围双曲线习题解答题详细答案选择题：1.A2.B3.A4.B5.B6.D7.C8.C填空题：9.321510.(1,12)11.212.64513.1614.221(3)927xyx15.83||||3FPFQ16.212||||FMFMb17.如图，在以点O为圆心，||4AB为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，30POB，曲线C是满足||||||MAMB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于．．．22，求直线l斜率的取值范围.解：（Ⅰ）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（1,3），依题意得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝221321)32(2222＝）（＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2，2a＝22，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为12222yx.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为abyax(12222＞0，b＞0）.则由411322222baba）（解得a2=b2=2,∴曲线C的方程为.12222yx(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴0)1(64)4(01222kkk－133kk∴k∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）.设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=kxxkk16,14212,于是｜EF｜＝2212221221))(1()()(xxkxyxx＝.132214)(1222212212kkkxxxxk而原点O到直线l的距离d＝212k，∴S△DEF=.132213221122121222222kkkkkkEFd若△OEF面积不小于22,即S△OEF22，则有　解得.22,022213222422kkkkk③综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1)∪(1,2).解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-K2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴22210(4)46(1)0kkk－133kk.∴k∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）.设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得｜x1-x2｜=.132214)(22221221kkkxxxx③当E、F在同一去上时（如图1所示），S△OEF＝;21212121xxODxxODSSODEODF当E、F在不同支上时（如图2所示）.ODFOEFSSS△ODE=.21)(212121xxODxxOD综上得S△OEF＝,2121xxOD于是由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=.132222kk若△OEF面积不小于2则有即,22,2OEFS.22,02213222422kkkkk解得④综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.18.（Ⅰ）设OAmd，ABm，OBmd由勾股定理可得：222()()mdmmd得：14dm，tanbAOFa，4tantan23ABAOBAOFOA由倍角公式22431baba，解得12ba,则离心率52e．（Ⅱ）过F直线方程为()ayxcb,与双曲线方程22221xyab联立将2ab，5cb代入，化简有2215852104xxbb222121212411()4aaxxxxxxbb将数值代入，有2232528454155bb,解得3b故所求的双曲线方程为221369xy。19.解：由条件知1(20)F，，2(20)F，，设11()Axy，，22()Bxy，．（I）解法一：（I）设()Mxy，，则则1(2)FMxy，，111(2)FAxy，，1221(2)(20)FBxyFO，，，，由1111FMFAFBFO得121226xxxyyy，即12124xxxyyy，于是AB的中点坐标为422xy，．当AB不与x轴垂直时，121224822yyyyxxxx，即1212()8yyyxxx．又因为AB，两点在双曲线上，所以22112xy，22222xy，两式相减得12121212()()()()xxxxyyyy，即1212()(4)()xxxyyy．将1212()8yyyxxx代入上式，化简得22(6)4xy．当AB与x轴垂直时，122xx，求得(80)M，，也满足上述方程．所以点M的轨迹方程是22(6)4xy．解法二：同解法一的（I）有12124xxxyyy，当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)(1)ykxk．代入222xy有2222(1)4(42)0kxkxk．则12xx，是上述方程的两个实根，所以212241kxxk．21212244(4)411kkyykxxkkk．由①②③得22441kxk．…………………………………………………④241kyk．……………………………………………………………………⑤当0k时，0y，由④⑤得，4xky，将其代入⑤有2222444(4)(4)(4)1xyxyyxxyy．整理得22(6)4xy．当0k时，点M的坐标为(40)，，满足上述方程．当AB与x轴垂直时，122xx，求得(80)M，，也满足上述方程．故点M的轨迹方程是22(6)4xy．（II）假设在x轴上存在定点(0)Cm，，使CACB为常数．当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)(1)ykxk．代入222xy有2222(1)4(42)0kxkxk．则12xx，是上述方程的两个实根，所以212241kxxk，2122421kxxk，于是21212()()(2)(2)CACBxmxmkxx22221212(1)(2)()4kxxkmxxkm22222222(1)(42)4(2)411kkkkmkmkk22222