2013美国数学建模A题优秀论文

终极布朗尼烤烤盘一、摘要根据题意，我们把把要解决的分成三个问题；第一个就是建立一个模型来表示整个烤盘的外边缘热量的分布。第二个就是优化组合题目中条件1和条件2，使得权重p和(1-p)能够描述随着W/L和p值的改变，最佳的烤烤盘形状和热量分布情况是如何改变的第三个问题就是为布朗尼美食家杂志准备一到两页的宣传广告，需要突出设计和结果。对于第一个问题，我们结合傅里叶定律构建了二维热传导模型；然后通过模型中的S来限定范围得到六种不同形状烤盘对应的热传导偏微分方程。然后对模型赋值和第二类边界条件（Neumann边界条件）下，应用comsol得出六种烤盘稳定热量分布图像和烤盘外边缘热量分布图像。通过输出的图像，我们得出结论：矩形四角处温度较高，圆形外边缘热量分布比较均匀；随着烤盘边数的增加，烤盘外边缘热量分布愈加均匀，但在角处温度仍然会高一些对于问题二对于问题三关键词：二、问题重述当用一个长方形的平底烤盘（盘）烘烤时，热量被集中在4个角，在角落处，食物可能被烤焦了，而边缘处烤的不够熟。在一个圆形的平底烤盘（盘）热量被均匀地分布在整个外边缘，在边缘处食物不会被烤焦。但是，大多数的烤箱的形状是矩形的，采用了圆形的烤盘（盘）相对于烤箱的使用空间而言效率不高。为所有形状的烤盘（盘）----包括从矩形到圆形以及中间的形状，建立一个模型来表示整个烤盘（盘）的外边缘热量的分布。假设：1.形状是矩形的烤箱宽长比为W/L；2.每个烤烤盘（盘）的面积为A；3.每个烤箱最初只有两个均匀放置的烤架。根据以下条件，建立一个能使用的最佳类型或形状的烤烤盘（盘）：1.放入烤箱里的烤烤盘（盘）数量的最大值为(N)；2.烤烤盘（盘）的平均分布热量最大值为(H)；3.优化组合条件1和条件2，使得权重p和(1-p)能够描述随着W/L和p值的改变，最佳的烤烤盘形状和热量分布情况是如何改变的。除了完成规定的解决方案，为布朗尼美食家杂志准备一到两页的宣传广告，需要突出你的设计和结果。三、问题分析问题一要求建立一个模型来表示各种形状盘的外边缘热量的分布。要求解外边缘热量的分布，我们必须知道其热量分布表达式，而且本问题研究的问题可以简化成二维的。为此，我们决定建立二维热传导模型来求解加热稳定后的矩形、正六边形、正八边形，圆角矩形、椭圆、圆六种烤盘边缘热量分布。问题二要求此问题主要解决的就是设计一种盘满足下面两个条件：1、加热时能够使盘上热量均匀程度最大化；2、放置这种盘时使烤炉的空间利用率最大化；3、优化组合条件1和条件2，使得权重p和(1-p)能够描述随着W/L和p值的改变，最佳的烤烤盘形状和热量分布情况是如何改变的然而同时考虑这些问题，问题解决会更复杂。因此，我们解决此问题就是从这两面入手，即把大问题分解成两个小问题；首先，对于均匀程度最大化。由于整体描述比较繁杂，所以我们选取了多边形烤盘上温度比较突出的对角线，运用方差进行计算，进而衡量其热量的均匀分布程度，找到最大值。对于空间利用率最大化；我们无法直接计算，所以先设定一个烤箱的长和宽，然后对不同的多边形进行分析，求出最大数量，进行对比得出结论。问题三是在完成问题一和问题二的条件下为布朗尼美食家杂志准备一到两页的宣传广告，需要突出所的设计和结果，所以要充分利用在问题一与问题二模型下得到的结果，反应出烤盘的优点去吸引顾客。四、问题假设1.认为所有形状的烤盘都是正多边形；2.忽略烤盘3.在假设：1、炉箱要求32LW，对于本问题炉箱规格：40cm60cm40cmHWL；2、热量流来自盘的上下面并且其它几个面绝热，并且上下面有相同的面积224cm；3、对烤盘上下热流密度为200-2mw；4、加热最终烤盘热量达到稳定；5、烤盘起始温度均匀相同五、符号说明n--表示多边形的边数;--表示多边形的角度，其中n,,21表示多边形的内角；Q--表示单位体积的热量；q--表示热传导速率；T--表示烤盘上的温度；d--表示边缘上极小的距离；k--表示热传导系数P--表示权重数S--表示烤盘的上下表面LW--表示烤箱的长宽比f--表示烤盘上某一点的温度值六、模型的建立与解答6.1问题一的模型建立与解答6.1.1模型建立首先，我们想热量传导方程。推导过程需要用到傅里叶热传导定律，即：在dt时段内,通过面积元dS流入体积元的热量dQ与沿面积元外法线方向的温度变化率nu成正比,也与dS和dt成比:dSdtnukdQ其中,k是导热系数,),,(zyxu是导热体中的温度)coscoscos()(zyxuuununu通过曲面进入导热体的总热量:dtdSnukQttS21][1通过曲面进入导热体的总热量:dtdxdydzGradudivkQttV])]([[211温度升高所需热量：dtdxdydztucdxdydzdttucdxdydzttVVtt2121][][)]tz,y,u(x,-)tz,y,[u(x,cQV122其中，为物质密度，c为物质比热容根据能量守恒有：21QQdtdxdydzGradudivkttV])]([[21=dtdxdydztucttV21][则得到：tucGradukdiv)(k为物质导热率记)/(2cka于是tuGradudiva)(2于是三维热传导方程如下：][2zzyyxxtuuuau即：uatu2由此，我们可以得到二维热传导方程：][2yyxxtuuau初值条件：0)0,,(uyxu边界条件：由于我们假设热流是从烤盘的上下面传递，四周绝缘，所以使用第二类边界条件（Neumann边界条件）：),,(g),(tyxnuyx其中nu表示u沿边界上的单位外法向n的导数，而),,(gtyx表示t][0,上的已知函数于是建立二维热传导模型如下：)/(),,()0,,()(202ckatyxgtuuyxuuuatuyyxxSyx),(当S表示不同烤盘表面时我们就可以得到六种形状烤盘的热传导模型6.1．2模型解答我们通过查阅相关资料得到烤盘材料为铁时密度-33mkg107.86，比热容K*kgJ460c，导热率kmwk*46，),,(gtyx=2200mw.并且我们取室温下220uC；又因为题目要求烤盘面积一定为A，为了计算；我们取224cmA。为了模型的解答我们在题意下规定六种烤盘的规格：烤盘形状盘烤的尺寸矩形长6厘米，宽4厘米厚度忽略圆角矩形长是6.027cm,宽是4.018cm角的半径0.5厘米正六边形边长3.04厘米八边形边长2.23厘米椭圆长半轴3.34厘米短半轴2.26厘米圆半径2.76里米我们可以分别使用S来表示上表烤盘形状，然后应用comsol可以得到六种不同烤盘加热稳定后的热量分布图像如下：图1矩形形状烤盘稳定热量分布图像图2矩形形状烤盘外边缘热量分布图3圆角矩形烤盘稳定热量分布图像图4圆角矩形形状烤盘外边缘热量分布图5正八边形烤盘稳定热量分布图像图6正八边形形状烤盘外边缘热量分布图7正八边形烤盘稳定热量分布图像图8正八边形形状烤盘外边缘热量分布图9椭圆形状烤盘稳定热量分布图像图10椭圆形状烤盘外边缘热量分布图11圆形形状烤盘稳定热量分布图像图12圆形形状烤盘外边缘热量分布由上所得图像可以看出矩形外边缘热量分布最不均匀，其四个角处温度显然高于其它地方，而圆形盘中热量分布比较均匀，图5和图7显示随着边数的增加,边缘热量分布更加均匀，但是角处的热量仍然高于其它部位。6.2问题二模型的建立与解答6.2.1热量最大均衡分布模型我们首先运用comsol软件对烤盘温度分布进行计算，容易可以得到如上图1,3,5,7,9,11，所示的结果，我们协调在多边形的对角线上取得10个点，并且运用comsol软件输出他们的热流值，然后计算出这10个热流值的标准偏差，并以此数据作为衡量烤盘上热量均衡分布的依据。建立如下模型：以矩形为例，在对角线上选取10个点的坐标),,(iiyx)103,2,1(i而这10个点的温度值是if)103,2,1(i平均温度值是f所以烤盘的热量均衡标准是：10)(1012iiffV)103,2,1(i从上述方程式我们很容易可以看出：当V的值越小时，烤盘的热量平均分布值就越大。但是本题研究的对象时由矩形到圆形的所有多边形，目标数量较多，因而我们先对矩形进行如上过程的分析，首先，我们在矩形的一条对角线上选取10个点分别记作;,,1021AAA然后根据下图所示输出他们的坐标。然后我们在次运用comsol软件计算出以上10个点的温度值，并记为;,,1021TTT最后在利用这些数据计算标准偏差的点的温度。10)(1012iiTTTVD)103,2,1(i计算结果如下表所示:x轴y轴])(1)[(KT,900Time00414.56132244.08E-046.12E-04414.59865988.16E-040.00122449414.63599730.001224490.001836735414.67333470.0016326530.00244898414.71067210.0020408160.003061224414.74800950.002448980.003673469414.78534690.0028571430.004285714414.82268430.0032653060.004897959414.86002170.0036734690.005510204414.8973591而对于其他的多边形，我们可以以矩形为参考，运用相同的方法进行运算，得到了下表所示的数据：形状矩形正六边形圆角矩形椭圆正八边形圆SL00.7162510.7755220.788531.0201921.0837656.2.2烤箱最大利用率（盘数量最大）模型我们首先得到的形状大小的烤盘是圆、六角、椭圆、矩形、圆角矩形（六种烤盘具体参数如见第一问的表1）。然后我们计算矩形框的大小根据大小的烤盘，最后,我们把烤盘到相应的矩形框,如下所示我们把围成不同烤盘的矩形的长记作w，宽记作l，这样我们就有两种不同的排列方式。lLm1，wWn1或wLm2，lWn2。其中11,nm表示第一种排列方式下每一行与每一行能排列的最大数，22,nm表示另外一种排列方式下的每一行和每一列能排列的最大数。然后我们把烤箱内能够放置的烤盘的最大数记为N2211,maxnmnmN首先我们以圆角矩形为例子进行举例。当LW是32时，我们假设烤箱的宽为cm40，长为cm60，圆角矩形的面积为224cm。因此，我们知道的矩形框的宽度是cm018.4，矩形框的长度是cm027.6。将这些数据代入上面的式子，我们可以得到：9027.6601m，9018.4401n14018.4602m，6018.6402n这两种排列方式如下图1所示：图1类似于圆角矩形，我们得到的结果如表3，表3显示了不同形状烤盘的摆设结果在LW一定时，权重p和p1不同的分配会有不同的结果。在6.1和6.2中，我们已经计算出不同形状的烤盘热分布均匀度。现在我们要计算在不同权重的情况下，烤箱内能放入的数量与受热均匀度达到最优。这其中p是放入烤箱内烤盘的数量的权重系数，p1是烤盘的受热均匀的的权重系数。然而，第6.1节，我们知道，相对标准偏差较小，热分布均匀度较好，第4.2节中我们可以看到，一些N值大的烤盘，烤箱的更好的使用。他们之间不能够直接进行比较，为了能够更好地比较在什么情况下能偶达到最优，我们必须规范化和标准化的4.1节和4.2节的结果。标准化：我们希望目标函数的最大值。6.2节的最大结果已经。然而，6.1节的结果是最低的。所以我们必须让6.1节的最大结果。我们把6.1的结果用63,2,1,