2013考研最全高等数学

·······························································Danielle高等数学1/12第一章函数极限与连续一、映射与函数回顾1.映射2.函数有界性设=()在区间X上有定义，如果∃0，∀∈X，恒有|()|≤M，则称()在区间X上有界。否则，则称()在X上无界。【注】有界无界是相对于某个区间而言的。六个常见的有界函数：|sin|≤1，|cos|≤1，(−∞,+∞)；|arcsin|≤，|arccos|≤π，[−1,1]；|arctan|，|arccot|，(−∞,+∞).3.常见分段函数：b)取整函数：不超过的最大整数，y=[]二、极限1.证明数列极限一般步骤：2.收敛数列性质：①极限的唯一性；②收敛数列的有界性；③收敛数列的保号性收敛数列与子数列的关系：若数列{}收敛，则所有子数列均收敛(逆否命题：若任一子数列不收敛或收敛极限值不相等，则数列发散)类似:极限存在与左右极限关系、导数存在3.函数极限的性质①函数极限的唯一性；②函数极限的局部有界性；③局部保号性常用极限性质：(1)lim()=⟺()+()，其中lim()=0(2)收敛数列一定有界，数列有界未必收敛.函数在自变量的某变化过程中极限存在，则一定存在此变化过程中的某时刻，此时此刻后(强调局部)，函数有界.(3)局部保号性：【注】注意不等式中是否含有相等关系.基本结论1：lim()=，0或0，则存在某时刻，此时此刻之后，()0或()0.基本结论2：lim()=，0或0，若存在某时刻，此时此刻之后，()≥0或()≤0，则≥0或≤0.扩充结论2：设()在连续，()0或()0，则存在，δ，∀∈，δ，()0或()0.扩充结论3：lim()=，limg()=，，则存在某时刻，此时此刻之后，()g().扩充结论4：lim()=，limg()=，若存在某时刻，此时此刻之后，()≤g()，则存在某时刻，此时此刻之后，≤.c)狄利克莱(Dirichlet)函数=()=1，当为有理数0，当为无理数a)符号函数：=sgn=1，00，=0−1，01、|−|=|()−|=g()()可进行适当放大2、∀ε0只要()即ℎ()3、取N=[ℎ()]定义:lim→∞=⟺∀0，∃N,当时，恒有|−a|ε扩充结论1：lim()=≠0，则存在某时刻，此时此刻之后，|()|||2.:X→Y映射D=XR⊂Ya.R=Y叫满射b.≠⟹()≠()叫单射⇝⇝同时成立叫双射Danielle高等数学···············································2/12(4)数列极限存在，则任一子列极限都存在并相等.如果有两个子列极限存在且不相等，可以说明原数列极限不存在.一般来说，如果有两个子列极限存在且相等，不能说明原数列极限存在；如果偶数项子列和奇数项子列极限都存在且相等，则原数列极限存在且相等.数列出现(−1)考虑子数列：奇数项&偶数项(5)函数在某一自变量变化过程中极限存在，则同一变化过程中的任一子列极限都存在且相等.函数在某一自变量变化过程中为无穷大量，则同一变化过程中的任一子列极限都是无穷大量.作用：①说明函数极限不存在，或证明函数不是无穷大量(6)极限存在准则①单调有界准则：单调有界数列必有极限(单调递增有下界，单调递减有下界)数列有通项、递推公式且要求极限存在，用之②夹逼准则：设在的邻域内，恒有()≤()≤ℎ()，有∑和用之4.无穷小与无穷大(1)无穷小：以0为极限的量称为无穷小量.无穷小的运算性质：①有限个无穷小的和、积仍为无穷小；②无穷小乘以有界量仍为无穷小.(2)无穷大：在自变量的某一变化过程中，若函数()的绝对值无限增大，则称函数()为无穷大量.(实际上是极限不存在的一种特殊形式，有+∞，−∞)①无穷大与无穷小的关系：在自变量同一变化趋势下无穷大的倒数为无穷小；非“0”的无穷小量之倒数为无穷小.无穷大()转换⎯()无穷小(可进行四则运算)②无穷大量一定是无界变量，无界变量不一定是无穷大量()在→→∞时为无穷大量⟹()在以的某个邻域或含的区间是无界的()在，∞内是无界的→0时，~sin~tan~arcsin~arctan~−1~ln(1+)1−cos~12，−1~ln，(1+)−1~α，(1+)−1~1【注】①过程→0；②将→0改为()→0成立.③、sin、tan、arcsin、arctan任意两个无穷小之差为的三阶无穷小“ln1-型”ln()=ln{1+[()−1]}~()−1.(()→1)5.重要极限及其结论(1)lim→sin=1，limsin()()=1，其中lim()=0.属型未定式，注lim→sin=0(2)lim→(1+)=，lim→1+1=，lim()→(1+())()=.属型未定式函数()在→时的子列{()}要满足的条件：lim→=，≠；函数()在→∞时的子列{()}要满足的条件：lim→=∞.lim→()=0⟺∀0，∃0，当||||时，恒有|()|εlim→()=0⟺∀0，∃0，当0|−|时，恒有|()|ε②将数列极限转化为函数极限⟷1，→0；⟷，→∞.lim→()=lim→ℎ()=，则lim→()=.·······························································Danielle高等数学3/12(4)当→∞时，以下各函数趋于∞的速度ln，(0)，(1)，ln，(0)，(1)，！，⃗(5)lim→√(0)=1lim→√=1lim→=1arctan+∞=π2−∞=−π2arccot+∞=π−∞=0+∞=∞−∞=0在积商中尽早分离非零因子．．．．，在代数和中尽早分离极限存在的部分．．．．．．．.三、连续性与间断点1.函数连续的定义定义1设函数()在的某邻域内有定义，给在处以增量∆，若关于函数增量∆的则称为()的间断点.3.间断点的判定：先确定范围；再判断类型：求极限.第一类间断点左右极限都存在左右极限都存在且相等但不等于函数值可去间断点可修改、补充定义去除左右极限都存在，但不相等跳跃间断点第二类间断点左右极限至少有一个不存在有一个为无穷大无穷间断点函数值反复震荡震荡间断点【注】分段点左右表达式相同，无分左右极限的必要；左右表达式不同，必分左右极限！4.函数()在=处连续⟺()=()=()当→∞时极限lim∆→(+∆)−()=0，则称()在=处连续。即lim∆→(+∆)=()定义2设函数()满足条件：lim→()=()，则称()在=处连续2.间断点的定义：()在处无定义、lim→()不存在、lim→()≠()，初等函数(无定义点)分段函数(分段点)(3)lim→++⋯++++⋯++=⎩⎪⎨⎪⎧，=0，∞，属∞∞型未定式求→∞的极限多采用“抓大头”的方式∵γ~α⟺γ=α+ο(α)∴α+ο(α)~αeg:lim++⋯+++⋯+=lim，α,β是按升阶排列的无穷小.推广：①将→∞改为()→∞成立；②型未定式。抓低阶无穷小①设lim()=0，lim()=，则lim[()]()==[lim()]()②设lim()=0，lim()=∞，则lim[1+()]()=()()③设lim()=1，lim()=∞，则lim[()]()=[()]()Danielle高等数学···············································4/12第二章导数与微分一、导数概念1(3)lim→(+)−(−)条件:()存在即()在=处可导；极限和拆⇒和极限lim→(+)−(−)=lim→(+)−()+lim→(−)−()−=2()2.()存在⟺()=()3.()在处的微分，记为：=().4.()在处可微⟺()在处可导⟹()在处连续.二、导数的计算1.导数与微分的四则运算、反函数求导法则、复合函数求导法则(略)求导公式.高阶导数公式(1)高阶导求法：①直接法:求出1~3阶或4阶导数，分析规律写出n阶导；②间接法:通过四则运算、变量代换、泰勒级数等转化为已知高阶导公式；i.有理分式函数的高阶导数：ii.由cos，sin和、差、积所构函数的高阶导数：利用倍角公式、积化和差逐渐将次→(sin)()、(cos)()公式③莱布尼兹公式求高阶导数.(2)莱布尼兹公式：若()，()均阶可导，则()()=选：→容易写出阶导；→多项式优先(多次求导后出现0)()=lim∆→∆∆=lim∆→(+∆)−()∆,若ℎ=−∆则定义⟹lim→()−(−ℎ)ℎ()=lim→()−()−.多用于求某点，尤其分段点的导数(1)若=0，(0)=0，则(0)=lim→()−(0)−0=lim→()(2)特例：函数()连续且lim→()=⟹⎩⎪⎨⎪⎧⟹lim→()=0(0)=0由函数连续(0)=lim→()(0)=lim→()=()+()+(−1)2!()+⋯+(−1)⋯(−+1)!()()+⋯+()有理假分式→整式+真分式→整式+部分分式之和→1±()ln±±=1±特别熟记1=−1=0()=()=ln()=(log)=1ln(ln)=1(sin)=cos(cos)=−sin(tan)=sec(cot)=−csc(sec)=sectan(csc)=−csccot(arcsin)=1√1−(arccos)=−1√1−(arctan)=11+(arccot)=−11+·······························································Danielle高等数学5/122.隐函数微分法题型⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧两端求导法两端微分法一阶导数再求导，()带入先求′表达式，再求导①由原方程知=0⟹=②方程两端同时对x求导.得①式③将=0，=代入①式.得|=b④将式两端对求导.得②式⑤将=0，=,=b代入②式.得|3.参数方程函数微分法=()，=()，==()()==∙=.eg：已知=1，求==1=14.对数微分法幂指函数微分法：=()()()0，()≠1=()()[()ln()]即()=(ln)=(ln)(3)初等函数高阶导公式：()()=0(sin)()=sin+∙2(cos)()=cos+∙2()()=ln(0)()()=(ln)()=(−1)(−1)!()()=μ(μ−1)⋯(μ−+1)特别的，当μ=时，()()=!，()()=01+()=(−1)!(+)，特别的，1()=(−1)!()1−()=!(−)(1)两端求导法：两端对求导，则的函数1，，ln，等均是的复合函数，链式法则(2)公式法：由，=0，=−(，)(，)(3)两端微分法：微分形式不变性，由=(∗).⟹||〈不可导.在=0时有界量.Danielle高等数学···············································6/12第三章一元函数微分学的应用一、罗比达法则二、函数性态分析(单调性、极值与最值、凸凹性与拐点、渐近线).1.极值与最值【注】极值对连续无要求；常数函数无极值；端点肯定不是极值点(“”非“≥”)(2)取得极值的必要条件：设函数()在处可导，且在处取得极值，则′()=0方程()=0的解，称为()的驻点.(3)①取得极值的第一充分条件一阶导判别法：设函数()在点某邻域内可微，且()=0或()在处连续，但()不存在若经过时，()由“+”变“−”或()由“−”变“+”，则()为极大或小值；若()在=的两侧不变号，则()不是极值.②取得极值的第二充分条件二阶导判别法:设函数()在点处有()≠0，且(4)极值的求法①求出()，求出在(，)内使()=0和()不存在的点=1,2，⋯，；②验证所求点是否为极值点；(首选二阶导判别法)③若为极值点，则()为极值【注】隐函数极值问题：设=()由F，=0确定，试求=()的驻点并判断是否为极值点.两边对自变量求导，令=0.得()；代入原方程得驻点.(5)最值的求法[，]①求出()，