第二章-有限元法的直接刚度法

•单元分析方法：–1、直接刚度法–2、数值法：变分法；加权余量法（参照清华教材）第二章有限元法的直接刚度法•【教学目的和教学要求】•掌握有限元求解问题的基本过程，掌握有限元法的基本原理。授课大纲2.1直梁的有限元分析2.2平面刚架的有限元分析引子•有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。真实系统有限元模型2.1直梁的有限元分析•有限元法基本概念–结构（或连续体）离散（有限元建模）•1）网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单元•2）边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节点载荷–要求•1）离散结构必须与原始结构保形--单元的几何特性•2）一个单元内的物理特性必须相同--单元的物理特性•单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域。简言之，将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。本书中，两个节点之间的杆件构成一个单元。•节点：单元与单元间的连接点。•节点位移：结构在受力变形过程中节点位置的改变。分为线位移与角位移，单元类型不同，节点位移不同。•节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力。•节点载荷：作用于节点上的外载。节点载荷包括直接作用在节点上的外载荷和等效移置到节点上的载荷。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。节点:空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。单元:一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。载荷载荷–注意•1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别；•2）节点力与节点载荷的差别。•每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。•作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。•尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。2.1.1划分单元•单元：应该是规则形状的简单几何体，以便进行单元分析。•常用的单元形式•线性元：•精密元：•等参元：（曲边、直线边均可）•离散化模型弹性力学问题的位移法中，节点大都为铰接点单元节点数：r结构节点数：n节点自由度：Wi-节点上独立参变量的个数，按位移求解时：iiivuW2二维问题：eiekrwW阶数此值决定了单刚矩阵的单元自由度：的阶数模即：此值决定了求解问题规结构自由度：knwWis杆件结构的节点可按以下原则选取：–杆件的交点一定要选为节点。–阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。–支承点和自由端要取为节点。–集中载荷作用处要取为节点。–欲求位移的点要取为节点。–单元长度不要相差太多。•按照杆件结构划分单元的原则，对图2.1(a)所示结构划分的单元如图2.1(b)所示。图2.1直梁及其有限元模型2.1.2以节点位移表示单元节点力•任取一单元进行分析。根据材料力学的知识，梁单元上每个节点的节点位移分量有2个：挠度和转角，一般规定，向上为正，逆时针为正。写成列阵形式见式（2-1），表示节点的节点位移。Tiiiiiff（2-1）Tjjiieff上图所示梁单元有i、j两个节点，共有4个节点位移分量：fi、θi、fj、θj，可用一个列阵表示，称为单元的节点位移列阵。梁在外力作用下，横截面上的内力有2个：剪力Q、弯矩M。•所以，梁单元上每个节点的节点力有2个，用q、m来表示，规定：q向上为正，m逆时针为正•写成列阵形式，表示i节点的节点力。上图所示梁单元共有4个节点力分量：qi、mi、qj、mj，可用一个列阵表示，称为单元的节点力列阵。Teiijjpqmqm梁单元上每个节点的节点载荷有2个：横向力Z和力偶M，一般规定，Z向上为正，M逆时针为正。写成列阵形式，表示节点的节点载荷。TiiiiiZQZMM梁单元共有4个节点载荷分量：Zi、Mi、Zj、Mj，可用一个列阵表示，称为单元的节点载荷列阵。TeiijjQZMZM节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力，如果取整个结构为研究对象，节点力是内力；而节点载荷是结构在节点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。梁单元的每个节点有2个节点位移分量（挠度f和转角θ），我们称每个节点有2个自由度。图2.1所示的梁结构共有4个节点，8个位移分量，我们称整个梁结构有8个自由度。图2.1所示梁上全部节点的节点位移分量可用一个列阵表示，称为结构的节点位移列阵，全部节点的节点载荷分量可用一个列阵表示，称为结构的节点载荷列阵。1122112233443344Tffffffff1122112233443344TZMZMQZMZMZMZMZMZM根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的前提下，节点力和节点位移之间是线性关系。所以，单元的节点力和节点位移的关系可以表示为：11121314212223243132333441424344iiijjiiijjjiijjjiijjqafaafamafaafaqafaafamafaafa写成矩阵形式：11121314212223243132333441424344iiiijjjjqfaaaamaaaaqfaaaamaaaa简写为:eeepKeeepKepeeK式中：为单元节点力列阵为单元节点位移列阵为单元刚度矩阵，是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵（2-11）单元刚度矩阵中各元素的物理意义：在j点固定，令i点有如图所示的位移，即有1if0i0jf0j图2-3（a）代入公式中，得11121314112122232421313233343141424344411000iijjqaaaaamaaaaaqaaaaamaaaaaa11的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第1个节点力分量。a21的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第2个节点力分量。a31的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第3个节点力分量。a41的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第4个节点力分量。（2-12）单元刚度矩阵中元素aml的物理意义：单元第l个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量。求单元刚度矩阵的第一列元素，由叠加原理，可得''10iiiiiifff'if'iiq单独作用所产生的位移ifiim单独作用所产生的位移图2-3（b）图2-3（b）中图2-3（b）中3'3iiqlfEI2'2iiqlEI22iimlfEIiimlEI32213202iiiiqlmlEIEIqlmlEIEI113212126iiEIqalEImal解方程得对梁单元分析受力，列平衡方程00ijijiqqmmql图2-3（c）解方程得单元刚度矩阵中第二列元素的物理意义是：fi=0，θi=1，fj=0，θj=0时，作用在单元节点上的节点力313412126jijiiEIqqalEImqlmal求单元刚度矩阵的第二列元素由叠加原理，可得：32'2'03212iiiiiiiiiiqlmlfffEIEIqlmlEIEI解方程得1222264iiEIqalEImal[]eK图2-4单元刚度矩阵第二列元素的意义（2-20）对梁单元分析受力，列平衡方程，解得3224262jjEIqalEImal（2-21）同理，可求出单元刚度矩阵中的第三、四列元素，从而得到单元刚度矩阵3232111213142221222324313233343232414243442222312612664621261266264126126646212eEIEIEIEIllllaaaaEIEIEIEIaaaallllKaaaaEIEIEIEIllllaaaaEIEIEIEIllllllllllEIl2261266264llllll从上式可以看出，单元刚度矩阵是一个对称矩阵，即aij=aji将单元刚度矩阵的公式应用于三个实际的梁单元11122111312222122126126646221261266264fllqllllmEIflllqllllm22222222323322233126126646221261266264fllqllllmEIflllqllllm3332233333442234412612664621261266264fllqllllmEIflllqllllm图2-5三个单元的受力图单元的节点力和节点位移的关系，通常采用分块的方法表示，如2号单元的节点力和节点位移的关系2222222233222333233pKKEIlpKK（2-26）