§3.3.2简单线性规划问题.ppt1

重庆市万州武陵中学邓静§3.3.2-1简单线性规划问题(一)§3.3.2-1简单线性规划问题(一)一.复习回顾1.在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7.02)0(2:平行的直线与形如结论yxttyxxYo§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/2655x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1,4.4)A:(5,2)B:(1,1)Oxy问题1：x有无最大（小）值？问题2：y有无最大（小）值？问题3：2x+y有无最大（小）值？1255334xyxyx2.作出下列不等式组的所表示的平面区域§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26二.提出问题把上面两个问题综合起来:1255334xyxyx设z=2x+y,求满足时,求z的最大值和最小值.§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/2655x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy.1255334.1所表示的区域先作出xyxyx02yx02:.20yxl作直线Rttyxll,2:.30直线平行的作一组与直线直线L越往右平移,t随之增大.以经过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;经过点B(1,1)的直线所对应的t值最小.3112,12252minmaxZZ可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数的最大、最小值？§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。1255334xyxyx目标函数（线性目标函数）线性约束条件CBAx=1x-4y+3=03x+5y-25=0xOy象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件Z=2x+y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/261255334xyxyx设z=2x+y,求满足时,求z的最大值和最小值.线性目标函数线性约束条件线性规划问题任何一个满足不等式组的（x,y）可行解可行域所有的最优解目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26线性规划例1解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：11yyxxy解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。探索结论C(12,12)B(2,-1)A(-1,-1)xOy2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值－3.当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.也可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26线性规划例2解下列线性规划问题：求z=300x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：探索结论x+3y=0300x+900y=0300x+900y=112500答案：当x=0,y=0时，z=300x+900y有最小值0.当x=0,y=125时，z=300x+900y有最大值112500.0025023002yxyxyxC125250150BAx+2y=2502x+y=300xOy§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26课前练习(1)已知求z=2x+y的最大值和最小值。01y01-yx0y-x§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)3maxzmin3z§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26例1:某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?若生产1件甲种产品获利2万元,生产1件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?把例1的有关数据列表表示如下:32利润(万元)821所需时间1240B种配件1604A种配件资源限额乙产品(1件)甲产品(1件)资源§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/262841641200xyxyxy0xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y都是有意义的.解：设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:问题：求利润2x+3y的最大值.线性约束条件§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/262841641200xyxyxy0xy434823yxM（4，2）142yx问题：求利润z=2x+3y的最大值.143224maxZ变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/262841641200xyxyxy0xy434813yxN（2，3）142yx变式：求利润z=x+3y的最大值.max23311z§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目标函数3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解1）理清题意，列出表格：5)还原成实际问题(准确作图，准确计算)画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；法1：移－在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；法2：算－线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？分析：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo4x＋y≤1018x＋15y≤66x≥0y≥0§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，约束条件为下例不等式组，可行域如图红色阴影部分：xyo答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。M容易求得M点的坐标为（2，2），则Zmax＝34y1018x15y66x0y0x＋＋线性约束条件§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26例3、要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型第一种钢板第二种钢板A规格B规格C规格212131今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板x张、第二种钢板y张，可得§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解.答:(略)作出一组平行直线z=x+y，目标函数z=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法在可行域内打出网格线，当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，将直线x+y=11.4继续向上平移,§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/262x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=0直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.作出一组平行直线z=x+y，目标函数z=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解.作直线x+y=12x+y=12解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)调整优值法2x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*x0y§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/261.线性规划的讨论范围：教材中讨论了两个变量的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，但涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法来解；2.求线性规划问题的最优整数解时，常用打网格线和调整优值的方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26在x,y的值都是不小于0的整数点（x,y)中，满足x+y≤4的点的个数为__Ex._____15§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26例4.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？食物／kg碳水化合物／kg蛋白质/kg脂肪／kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：将已知数据列成表格§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2020/6/26解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么00671461475770006.007.014.006.014.007.0075.010.0105.0yxyxyxyxyxyxyxyx＋＋目标函数为：z＝28x＋21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域§3.3.2-1简单线性规划问题(一)2