江苏专用2018高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第7课二次函数与幂函数课件

课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破第二章函数概念与基本初等函数(Ⅰ)第7课二次函数与幂函数[最新考纲]要求内容ABC二次函数√幂函数√1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝____________(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为______；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(h，k)ax2＋bx＋c(2)二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R值域_____________________________单调性在－∞，－b2a上单调递___，在－b2a，＋∞上单调递___在－∞，－b2a上单调递___，在－b2a，＋∞上单调递___对称性函数的图象关于x＝－b2a对称4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a减增增减2.幂函数(1)定义：形如______(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域____________________值域_________________________奇偶性____________________单调性_________________________________________________________公共点______y＝xαRRR{x|x≥0}{x|x≠0}R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减(1,1)1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．()(4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为________．9[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝12.所以f(x)＝x12＝x，故f(m)＝m＝3⇒m＝9.]3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．120，＋∞[由题意知a＞0，Δ＜0，即a＞0，1－20a＜0，得a＞120.]4．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)零点的个数是________．2[因为判别式Δ＝b2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点．]5．(2017·徐州模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝________.2[∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∴f(x)在[1，b]上递增，∴f1＝1，fb＝b，b1，即b2－3b＋2＝0，b1，解得b＝2.]求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.【导学号：62172036】[解]法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x＝2＋－12＝12.∴m＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数的最大值是8，即4a－2a－1－－a24a＝8，解得a＝－4，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.[规律方法]用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下[变式训练1]已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．[解]∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.二次函数的图象与性质☞角度1二次函数图象的识别及应用(1)设abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是________．(填序号)①②③④图7­1(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．(1)④(2)－22，0[(1)由①，③，④知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－b2a＞0，知①，③错误，④符合要求．由②知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－b2a＜0，②错误．(2)作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，则有fm＜0，fm＋1＜0，即m2＋m2－1＜0，m＋12＋mm＋1－1＜0，解得－22＜m＜0.]☞角度2二次函数的最值问题(1)若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为________．(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上的最大值为2，求a的值.【导学号：62172037】(1)－4[xlog52≥－1⇒log52x≥log55－1⇒2x≥15，令t＝2xt≥15，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，当t＝1≥15，即x＝0时，f(x)取得最小值－4.](2)函数f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1图象的对称轴为x＝a，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a≤0时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是减函数，∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1.②当0＜a≤1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，a]上是增函数，在[a,1]上是减函数，∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，由a2－a＋1＝2，解得a＝1＋52或a＝1－52.∵0＜a≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a＞1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是增函数，∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.☞角度3二次函数中的恒成立问题已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．[解]由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立．当x＝0时，－3＜0，适合；当x≠0时，a＜321x－132－16.因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值12，所以a＜12.综上，实数a的取值范围是－∞，12.[规律方法]1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.幂函数的图象与性质(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是________．(填序号)①②③④图7­2(2)已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为________．(1)③(2)1[(1)令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝12，∴f(x)＝.(2)∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.又m∈N＋，∴m＝1或m＝2.由于f(x)的图象关于y轴对称．∴m2－2m－3的值应为偶数，又当m＝2时，m2－2m－3为奇数，∴m＝2舍去．因此m＝1.][规律方法]1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．3．若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.[变式训练2](1)设a＝0.5，b＝0.9，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是________．(2)若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．(1)cab(2)－1，23[(1)a＝0.5＝0.25，b＝0.9，所以根据幂函数的性质知b＞a＞0，而c＝log50.3＜0，所以cab.(2)易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以a＋1≥0，3－2a≥0，a＋1＜3－2a，解得－1≤a＜23.][思想与方法]1．二次函数的三种形式的选法(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2．研究二次函数的性质要注意(1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论．3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．4．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．[易错与防范]1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含着a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要分a＝0，a≠0两种情况讨论．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．