抗震设计第三章d1

1§3.6求自振频率及自振周期的近似方法2能量法（Rayleigh法）折算质量法顶点位移法矩阵迭代法（stodola法）3求自振频率及自振周期的基本方法单自由度体系mk自振频率：2T自振周期：4多自由度体系或频率方程：0][][2mK0][][][2Im或振型向量方程：0)][][(2jjXmK0)][][][(2jjXImnj,,2,15能量法（Rayleigh法）•若要求的是基本频率，则采可用能量法（或称Reyleigh法）。61.能量守恒原理•根据能量守恒原理：无阻尼弹性体系自由振动时，任一时刻的动能与变形位能之和保持不变。•当体系在振动中位移达到最大时，变形位能最大Umax，而动能为零；•在经过静平衡位置时，动能最大Tmax，而变形位能为零。•故根据能量守恒原理得：maxmaxUT72.能量法公式推导•设在自由振动时，质点的位移为：nitXtxii,,2,1,)sin()(nitXtxii,,2,1,)cos()(•则速度为：•动力学中动能公式为221vmT•任意时刻体系的动能为niiitxmT12)(21niiiXmtT1222)(cos218•结构的基本振型可以近似取为当重力荷载水平作用于质点上时的结构弹性曲线。故体系的最大变形位能为：niiigXmU1max211XnXiXnmim1mnGiG1G•则体系的最大动能为niiiXmT122max21•式中Xi——质点i的振型位移幅值9•由式Tmax=Umax得:niiiniiigXmXm112212121niiiniiiXmgXm12121niiiniiiXmXmg1211•则得自振频率计算公式：或103.基本周期•结构的基本周期为：niiiniiiXmgXmT1121122niiiniiiXGXG1122114.讨论•因采用了近似的振型曲线，故基本频率也是近似的。若要提高计算的精度，应提高振型的精度。可采用迭代法进行修正。方法如下。125.计算修正•按已求得的频率12，计算出各质点相应的惯性力mi12Xi。按此惯性力计算结构的位移曲线（即为新的振型Xi）再以新振型Xi去计算新的频率12。如此迭代直至达到需要的精度为止。136.能量法算例[例]某三层框架结构图，假定横梁的刚度为无限大。各参数如图示。用矩阵迭代法求结构的频率和振型。1k3m2m1m3k2k14已知质量为mkNk511043.5mkNk521003.9mkNk531023.8tm25611tm25452tm5593•层间刚度为15[解]•结构在重力荷载Gi水平作用下的弹性曲线如图。1X2X3X1233G2G1G16•层间相对位移13211kGGG1321)(kgmmmmgg451033.1041043.5)25612545559(2322322)(kgmmkGGmgg451037.341003.9)25612545(33333kgmkGmgg4510792.61023.8256117•各层水平位移mgX4111033.104mgmgXX442121070.13810)37.3433.104(mgmgXX443231049.14510)792.67.138(18•结构基本频率niiiniiiXmXmg1211242224)10)(49.1455597.138254533.1042561(10)49.1455597.138254533.1042561(gggsrad89.819•相应的基本振型000.1953.0717.01049.14570.13833.1044131211gXXX20•为了提高精度，进行修正。•根据已求得的频率计算各质点的惯性力21211112111836717.02561XmI21211222122425953.02545XmI2121133213559000.1559XmI21•由惯性力引起的层间相对位移421521310792.61023.855942152121005.331003.9)2425559（42152111077.881043.5)18362425559（22•各层位移为421111077.88X4214212121082.12110)05.3377.88(XX4214213231061.12810)792.682.121(XX23•基本频率为niiiniiiXmXI12112421222441)10)(61.12855982.121254577.882561(10)61.12855982.121242577.881836(srad88.824•基本振型为•上述计算结果与矩阵迭代法结果基本相同。000.1947.0690.01061.12882.12177.88421131211XXX•如果计算结果的精度不够，可以重复上述计算，直至满意的精度。25折算质量法•也称等效质量法、转移质量法在求多自由度体系或无限自由度体系的基本频率时，为了简化计算，可根据等效原则，将全部质量集中在一点或几个点上。此集中所得质量称为等效质量。•等效原则：•(1)频率等效•(2)单自由度体系最大动能与多自由度体系基本自振最大动能相等.26•对于单自由度体系频率为mkmk2km21或折算质量法1mimnmem27•现考虑一悬臂体系如下图，在其上i点有一集中质量mi，将其转移到体系的柱顶j，而体系的频率仍保持不变，试求j点的等效质量me。imiikiemjjkjejjiiimkmk)(amkkmiiijje•根据频率相等的原则•则求得等效质量为28•若体系原有n个集中质量，则将每个质量都按上式所示的转换关系转换到j点。这时，j点总的等效质量为各等效质量之和，即)(1bkmkmniiiijje•故体系的基本频率为)(111212ckmkmniiniiiijje1mimnmem29•式（b）是计算等效质量的近似公式。•式（c）称为邓克莱（Dunkeley）公式，是计算多自由度体系基本频率的近似公式。30•当为均布质量时，按频率等效的等效质量me推导如下：33hEIkxdxmimiik,dxmmi•杆件刚度为：•任意微段的质量为：jhojhohoiijjeehmdxmhxdxmkkdmmjjj41)(3jjkemjhdxmkkdmiijje对单厂排架雪柱墙吊车梁屋盖）（GGGGGGe5.025.05.00.1动力等效系数荷载组合系数0.8L212mniieqxxmMieqMT21解:例.已知：kN/m10720,kN/m14280kN300,kN4002121kkGG求结构的基本周期。2kG21kG12x1xkNF1eqM2xmkFx5111000.714280/1/10720/11000.7//5212kFkFxmxxm521033.16212mniieqxxmMit11.38)1033.168.9)1033.16(300)107(400252525（eqMT21s496.01033.1611.3825m51033.16能量法的结果为T1=0.508s34顶点位移法•基本思想：将结构基本周期用顶点位移表示。•悬臂杆在均布荷载作用下的位移如图所示弯曲位移剪切位移弯剪位移35•均布质量的悬臂杆弯曲振动时的基本频率由结构力学得到，为mEIl221•则弯曲振动时的基本周期为)(79.1221aEImlTb•同样，剪切振动时的基本周期为)(4bGAmlTs36•悬臂杆在均布荷载作用下的位移)(8844cEIglmEIqlb•设均布荷载为gmq•则弯曲位移为•则剪切位移为)(2222dGAglmGAqls37•将式（c）和（d）分别代入式（a）和式（b），得)(6.1eTbb)(8.1fTss•若体系按弯剪振动，则基本周期按下式计算)(7.1gTT38•式（g）可用来计算框架结构的基本周期。式中ΔT为重力荷载水平作用下的结构顶点位移。当框架结构有填充墙时，采用下式TTT7.11•式中为填充墙修正系数，取0.6~0.7T自振周期的经验公式根据实测统计，忽略填充墙布置、质量分布差异等，初步设计时可按下列公式估算（1）高度低于25m且有较多的填充墙框架办公楼、旅馆的基本周期（2）高度低于50m的钢筋混凝土框架-抗震墙结构的基本周期31/35.022.0BHTH---房屋总高度；B---所考虑方向房屋总宽度。321/00069.033.0BHT（3）高度低于50m的规则钢筋混凝土抗震墙结构的基本周期31/038.004.0BHT（4）高度低于35m的化工煤炭工业系统钢筋混凝土框架厂房的基本周期35.21/0015.029.0BHT40迭代公式由振型向量方程得：•将上式两边左乘[k]-1得：jjjXmXk][][2jjjXmkX][][12矩阵迭代法（stodola法）该法是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的频率与振型。•迭代公式推导如下。由结构力学知，刚度矩阵与柔度矩阵互逆，即njXmXjjj,,2,1,]][[21][][k).....(002121212222111211221aXXXmmmXXXjnnnnnnnnjjn将上式展开得：•上式即为迭代法的基本公式（a）。41迭代法步骤先假定一个振型并代入上式等号的右边，计算后得频率2和主振型第一次近似值。]][[)1(2mj)0(jX)1(jX]][[)2(2mj)1(jX)2(jX再将第一次近似值代入上式的右边，计算后得频率2和主振型的第二次近似值。如此计算，直至前后两次结果接近为止。当一个振型求得后，则利用振型正交性质，求出更高阶的频率和振型。)1(njX)(njX)1(n)(n42迭代法举例[例]某三层框架结构图，假定横梁的刚度为无限大。各参数如图示。用矩阵迭代法求结构的频率和振型。1k3m2m1m3k2k43已知质量为mkNk511043.5mkNk521003.9mkNk531023.8tm25611tm25452tm5593•层间刚度为44柔度系数：单位力作用下的位移。1F211F1F311132221213233345[解]柔度系数kNmk611312111084.11kNmkNmkk6662123221095.21011.11084.111kNmkNmkkk666321331016.41021.11095.211146第1振型设第1振型的第一次近似值为：•代入式迭代公式（a）得：1115