“恒成立”问题的解法

“恒成立”问题的解法“恒成立”问题的解法“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:①一次函数型；②二次函数型；③指数、对数型；④三角函数型；⑤数列型等。解法通常使用:①函数最值法；②变量分离法；③数形结合法.讲座内容目录恒成立问题常见的题型1恒成立问题解决的基本策略2解决恒成立问题常用的方法3恒成立与有解的区别4讲座内容一、恒成立问题常见的题型2.由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围3.证明不等式恒成立1.函数、数列的恒成立问题二、恒成立问题解决的基本策略两个基本思想解决“恒成立问题”思路1：max)]([)(xfmDxxfm上恒成立在思路2：min)]([)(xfmDxxfm上恒成立在如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理等等方法求函数()fx的最值。三、解决恒成立问题常用的方法常用方法1函数性质法2变量分离法3变换主元法4数形结合法函数性质法1.函数性质法1.0)(0)(nfmf()(0)yfxaxba()yfx[,]mn()0fx（1）恒成立问题与一次函数联系：给定一次函数，若在内恒有则根据函数的，图像（直线）可得上述结论等价于0)(0mfa0)(0nfaⅰ）或ⅱ）亦可合并成.1.函数性质法函数性质法1.函数性质法1.[,]mn()0fx0)(0)(nfmf如图所示.同理，若在内恒有则有（1）恒成立问题与一次函数联系12x()(1)430fxmxmm【例1】如果当自变量满足时，函数恒成立，求实数的范围.(1)0(2)0ff解：43m∴（2）恒成立问题与二次函数联系类型一)0()(2acbxaxxf()0fxRRxxf在0)(00且aRxxf在0)(00且a类型1：设，在全集上恒成立问题：上恒成立（2）上恒成立（1）（2）恒成立问题与二次函数联系：22()21xaxafx,Ra【例2】若函数的定义域为则实数的取值范围为______________R22210xaxaR220xaxa2(2)4()0aa10a，即在上恒成立，也即恒成立，所以有解得.解：已知函数的定义域为（2）恒成立问题与二次函数联系：（3）恒成立问题与二次函数联系类型二)0()(2acbxaxxf()0fx类型2：设，上恒成立问题：在区间[,]],[0)(xxf在0)(0)(ff0a],[0)(xxf在0)(2020)(2fababfab或或（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）恒成立问题与二次函数联系：)0()(2acbxaxxf()0fx类型2：设，上恒成立问题：在区间[,]],[0)(xxf在()0()0ff0a],[0)(xxf在222()00()0bbbaaaff或或（2）当时，上恒成立上恒成立（2）恒成立问题与二次函数联系：2()3fxxaxa2,2x()0fxa【例3】已知函数，在上恒成立，的取值范围.求22()324aafxxa()fx2,2()ga22a4a()(2)730gafa73a4aa解：，令在上的最小值为⑴当，即时，又不存在.222a44a2()()3024aagafa62a44a42a⑵当，即时，又22a4a()(2)70gafa7a4a74a72a⑶当，即时，又综上所述，.（2）恒成立问题与二次函数联系：变量分离法2.变量分离法2.()afxmax()afx()afxmin()afx恒成立；恒成立()afx()afx()afx将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：或或恒成立的形式.()afxa()fx恒成立的范围是的值域；则若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.2.变量分离法【例4】当(1,2)x240xmxm时，不等式恒成立，则的取值范围是.(1,2)x240xmx24xmx244()xfxxxx()fx(1,2)()(1)5maxfxf5m解：当时，由得.令则易知在上是减函数，，∴.所以2.变量分离法：变换主元法3.变换主元法3.处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。3.变换主元法]1,1[a024)4(2axaxx【例5】对任意，不等式恒成立，求的取值范围.44)2()(2xxaxaf0)(af]1,1[a2x0)(af2x0)1(0)1(ff31xx或x),3()1,(解：令，则原问题转化为恒成立（）.当时，可得，不合题意.时，应有解之得∴的取值范围为当3.变换主元法：数形结合法4.数形结合法4.数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.4.数形结合法xxxf4)(2axxg134)()()(xgxfa【例6】设,,若恒有成立,求实数的取值范围.)(xf)(xg)(xf)0(4)2(22yyx)(xg03334ayx)()(xgxf解：在同一直角坐标系中作出及的图象如图所示，的图象是半圆的图象是平行的直线系要使恒成立，)0,2(03334ayx25338ad355aa或则圆心到直线的距离满足解得（舍去)x-2-4yO-44.数形结合法：四、恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团。()fxkxIkxf,)(maxxI()fxkxIkxf,)(minxI（1）不等式在时恒成立（2）不等式在时有解()fxkxImin(),fxkxI()fxkxImax(),fxkxI（3）不等式在时恒成立（4）不等式在时有解2()fxxmxm()0fx[2,3]xm【例７】设函数，若在上有解，求实数的范围.[2,3]x19(1)2[4,]12yxx9.2m解法一：当时，∴(2)0f(3)0f9.2m解法二：或，∴四.恒成立与有解的区别：关于“恒成立”问题的策略还有很多，对于某些“恒成立”题目，不一定用一种方法，还可用多种方法去处理。这就要求我们养成良好的数学思维，有良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力，使所见到的“恒成立”问题更有效地解决。友情提醒：友情提醒祝同学们成功，再见！END