泊松过程

泊松过程信息与通信工程学院叶方内容提要泊松过程的定义泊松过程的基本性质泊松脉冲列散粒噪声非齐次泊松过程复合泊松过程条件泊松过程双重随机泊松过程引言[(0-1)分布]qpXPpXP1)0(,)1(随机变量X只可能有两个值:0和1，其概率分布为：pqXDpXE)(,)([二项分布]随机变量X为n重贝努利试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p)knkknqpCkXP)(npqXDnpXE)(,)([泊松定理]在二项分布中，设np=是常数，则有!)(limkekXPkn泊松分布[泊松分布]随机变量X的所有可能取值为0,1,2,…，而取各个值的概率为则随机变量X服从参数为的泊松分布，简记为()。)0(,2,1,0,!}{为常数kkekXPk)(,)(XDXE泊松过程定义[计数过程定义]若N(t)表示到时间t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足下列条件：(1)N(t)0，且N(0)=0;(2)N(t)取非负整数值;(3)若st，N(s)N(t);(4)当st时，N(t)N(s)等于区间(s,t]中“事件A”发生的次数。称{N(t),t0}为计数过程。泊松过程定义[泊松过程定义1]若计数过程{X(t),t0}满足下列条件：(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立增量过程;(3)（平稳性）在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数0的泊松分布，即对任意s,t0，有称它为具有参数的泊松过程,1,0,!)(})()({nentnsXstXPtn泊松过程定义[泊松过程定义2]若计数过程{X(t),t0}满足下列条件：(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立、平稳增量过程;(3)X(t)满足下列两式：称它为具有参数0的泊松过程)(}2)()({)(}1)()({hotXhtXPhohtXhtXP泊松过程例子考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示电话交换台在[0,t]时间内收到的呼叫次数，则{X(t),t0}是一个泊松过程。考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t)为时间[0,t]内到达售票窗口的旅客数，则{X(t),t0}是一个泊松过程。考虑机器在(t,t+h]内发生故障这一事件。若机器发生故障，立即修理后继续工作，则在(t,t+h]内机器发生故障而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描述。泊松过程基本性质,1,0,!)(})()({nentnsXstXPtn,2,1,0,!)(})({nentntXPtn)1()(jj][)(ΦettXXeeE泊松分布:(1)泊松过程的数字特征ttDtXX)()(2ttXEtmX)]([)(均值函数方差函数)(,)1()]()([),(tststXsXEtsRX相关函数)(,),min()()(),(),(tsststmsmtsRtsCXXXX协方差函数(2)时间间隔与等待时间设{X(t),t0}是泊松过程，令X(t)表示t时刻事件A发生的次数，T1T2T3Tn0W1W2W3Wn-1WntWn——第n次事件A发生的时刻，或称等待时间，或者到达时间Tn——从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔，或称第n个时间间隔)1(1nTWniin时间间隔TnTn的分布函数：[定理]设{X(t),t0}是具有参数的泊松过程，{Tn,n1}是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn(n=1,2,…)是独立同分布的均值为1/的指数分布。)()1(}{)(tuetTPtFtnTnTn的概率密度函数：)()(tuetftTn21][,1][nnTDTETn的数字特征：Tn的特征函数：j)(ΦtnT等待时间（到达时间）Wn[定理]设{X(t),t0}是具有参数的泊松过程，{Wn,n1}是对应的等待时间序列，则随机变量Wn服从参数为n与的分布（又称为爱尔兰分布），其概率密度为)()!1()()(1tuntetfntWn2][][nWDnWEnn)(!)(1)(10tuktetFnkktWnnnWn)j()(Φ[例1]已知仪器在[0,t]内发生振动的次数X(t)是具有参数的泊松过程。若仪器振动k(k1)次就会出现故障，求仪器在时刻t0正常工作的概率。[解]0,00,)!1()()(1ttktetfktT故仪器在时刻t0正常工作的概率为:0d)!1()()(10tkttktetTPP仪器发生第k振动的时刻Wk就是故障时刻T，则T的概率分布为分布:1000!)(])([0knntntektXP(3)到达时间的条件分布假设在[0,t]内事件A已经发生一次，确定这一事件到达时间W1的分布tsteesetXPsXtXPsXPtXPsXtXsXPtXPtXsWPtXsWPtsts)(11}1)({}0)()({}1)({}1)({}0)()(,1)({}1)({}1)(,{}1)({分布函数：tststsssFtXW,10,/0,0)(1)(1分布密度：其它,00,/1)(1)(1tstsftXW——均匀分布到达时间的条件分布其它,00,!))(,,(11ttttnntXttfnnn[定理]设{X(t),t0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间W1W2…Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布，})()({ntXksXPknkkntstsC1参数为n和s/t的二项分布[例2]设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0st，对于0kn，求在[0,s]内事件A发生k次的概率。})({})(,)({ntXPntXksXP})({})()(,)({ntXPknsXtXksXP!)()!()]([!)()(netknestkestnstknsknknktstsknkn)()!(!!)()(nsftXWk[例3]设在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k次(kn)事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数。knkktstsknkn1)!()!1(!1Beta分布})({ntXhsWsPk})({})(,{ntXPntXhsWsPk})({})()(,{ntXPknhsXtXhsWsPk})({})()({}{ntXPknhsXtXPhsWsPkhntXhsWsPkh})({lim0})({})()({)(ntXPknsXtXPsfkW泊松增量[定义]称泊松过程{X(t),t0}在时间t到t+△t的平均变化率为泊松平均变化率，也称为泊松增量。记为{Y(t),t0}，即ttXttXtY)()()([意义]泊松增量表示在时间t到t+△t上，泊松计数事件的平均次数泊松增量的统计特性!)()(kettktYPtk一阶概率特性ttXEttXttXEtYE)()()()(均值特性相关函数ttsttsttsttYsYEtsRY222)()()(),(泊松增量是平稳平稳的。t1t2tit0tX(t)(a)泊松过程t1t2tit0tZ(t)(b)泊松脉冲列泊松脉冲列)(dtd)(tXtZ[定义]称泊松过程{X(t),t0}的导数过程为泊松脉冲列，记为{Z(t),t0}，即iitt)(iittu)(泊松脉冲列的数字特征)]([dtd)(dtd)(tXEtXEtmZ均值函数泊松脉冲列是平稳随机序列。)(,)(),(),(22sttsRtstsRXZ相关函数功率谱密度)(2d)()(2jZZeRS0th(t)散粒噪声iiiitthttthtZthtS)()()()()()([定义]当线性系统h(t)输入一泊松脉冲列Z(t)时，其输出过程即为散粒噪声，记为S(t)，即iitttZ)()(iitthtS)()(t1t2t0t2tt0t1散粒噪声的数字特征)0(d)()]([HhtSEmS均值函数散粒噪声也是平稳随机过程相关函数功率谱密度2222)()()0(2)()()(HHSHSZSde)(2)0(d)()()0()()()()(j22222HHuuhuhHhhRRZS泊松脉冲列和散粒噪声的统计特性0SZ()(a)泊松脉冲列0RZ()2220SS()(c)散粒噪声0RS())0(222H2)0(H2S)0(22H0(b)线性系统0h())(H[例5]泊松脉冲列输入一线性系统h(t)=etu(t)，求其输出散粒噪声的均值和方差。[解]线性系统的传递函数为j1d)()(jtethHt散粒噪声的功率谱密度为2222222)(2)()()0(2)(HHSS相关函数为eRS2)(22均值和方差分别为2,2SSm非齐次泊松过程[定义]称计数过程{X(t),t0}为具有跳跃强度函数(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立增量过程;(3))(}2)()({)()(}1)()({hotXhtXPhohttXhtXP非齐次泊松过程的均值和方差函数为:tXXsstDtm0d)()()(非齐次泊松过程的分布)0()]},()([exp{!)]()([})()({ntmstmntmstmntXstXPXXnXX[定理]设{X(t),t0}为具有均值函数的非齐次泊松过程，则有tXsstm0d)()()0()},(exp{!)]([})({ntmntmntXPXnX或例6ttsstXDtXEtsin15.0)dcos.5(10)]([)]([0设{X(t),t0}是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。求E[X(t)]和D[X(t)]。)cos1(5.0)(tt[例7]设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。乘客流量如下：5时平均乘客为200人/时；5时至8时乘客线性增加，8时达到1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时至21时到达率线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人数的数学期望。1613,)13(4001400133,140030,400200)(tttttt2800400d1d)()7()9(9797tttmmXX28002000!20002800]2000)7()9([eXXP复合泊松过程[定义]设{N(t),t0}是强度为的泊松过程，{Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量，且与{N(t),t0}独立，令则称{X(t),t0}为复