搜索
函数概念的起源,最早和人们对动点轨迹的研究密不可分。再也没有其他的例子,如同象动点作曲线运动时,它的x坐标和y坐标相互依依赖并同时发生变化那样，更有利于促使人们产全变量、因变量—产生函数的概念了.而这又正是解析几何学的主耍内容.14世纪时,法国数学家奥莱斯姆(Oresme,1323-1382)在表示依时间t而变的变数x时,他画出了图形,把t称为“经度(longitude),把x称为“纬度”(latitude)。但是他并没有连续的概念,只是建立了孤立的点与点之简的对应.这种方法被开普勒(Kepler,德,1571-1630)和伽利略(Galilei,意大利,1564-1642)应用于关于天体运行方面的研究〔2〕。17世纪的绝大部分函数是被当作曲线来研究的,而曲线被看作运动着的点的路径这样的思想通过牛顿等人的工作而获得了认可与接受。牛顿在他的《求曲边形的面积》中说:“我认为这里的数学量,不是由小块合成的,而是由连续运动描出的”。英国数学家哈略特(Harriot,1560一1621)应用了直角坐标的概念求出了曲线的方程.当坐标系一经给定,则某些几何问题便可以用代数的形式表现出，这正是解析几何学的主耍方法.这样,函数的概念便又和轨迹的代数表达式发生了密切联系.法国著名的数学家费尔玛(Fermat,1601-1665)在他的《平面、立体曲线导论》中,取相交的直线建立坐标系,导出了直线、圆还有其它一些圆锥曲线的方程。法国著名数学家笛卡尔(Descartes,1596-1650)在他的《几何学》中明确地给出了点的坐标概念,由此当点P根据某特定条件运动时,它的两个坐标之间的互变关系可用曲线的方程表示。人们通常把变量概念的引入和解析几何的诞生归功与笛卡尔,他确实让用代数关系式表示变化的量间的关系(主要是曲线)的方法逐渐流行起来了〔2〕。总的说来,尽管描绘曲线方程的解析几何的方法已出现,但至少到17世纪上半叶,纯粹的函数概念并没有被提出来。莱布尼兹(Lei-bniz)在1673年首先提出“函数”这一名词.他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量.象曲线上的横坐标,纵坐标,切线的长度,垂线的长度等。牛顿(Newton)几乎同时用另一名词“流量”来表示变量间关系。1697年,约翰·伯努利给出了函数的第一个定义:一个按照任何方式用变量和常量构成的量.1698年,他采用了莱布尼兹的说法,称这个量为“x的函数”,表示为X.1718年,他又明确定义了一个变量的函数:由这个变量和常量的任意一种方式构成的量,表示为x.伯努利强调的是函数要用公式来表示了，这是函数的解析概念的第一次扩展。1734年,欧拉引入现在的函数表示形式:xf。欧拉就把用算术运算、三角运算和指数对数运算联结变数x和常数c而成的式子,取名为解析函数,并将它分成为“代数函数”和“超越函数”两类。欧拉用“解析表达式”替代了约翰的“任意形式”,明确地表述了变量之间相互依赖的变化关系。也不再强调函数一定要用公式来表示,但仍没有明确函数是某种对应关系,也没有提出函数可以不用解析式来表示.欧拉对函数的重要贡献是他考虑了用以表示被任意画出的曲线的函数,并把这种函数叫做“随意函数”。这使得函数概念为适应积分的需要作出了新的推进。1797年拉格朗日在他的《解析函数论》中把一元或多元函数定义为:自变量在其中可以按任意形式出现并对计算有用的表达式.换句话说,他认为,函数是运算的一个组合.他的代数分析的实质,就是把函数归结为无穷级数.他希望任何函数xf都能表示成他经过形式论证,得出他经过形式论证,得出傅立叶的工作更根本地改变了函数的面貌,震惊了当时的数学界。他一方面认为有限区间上的函数未必仅有唯一的表达式,另一方面又认为函数必须用解析式来表达,这靠他发明的傅立叶级数理论来支持。他证明了任意以π为周期的一个函数f(x)在[-π,π]可以由展开,其中后来人们又证明了不仅仅周期函数,任一连续函数在(-π,π)上都可以用正弦或余弦函数给出。柯西的函数定义;对于x的每一个值,如果y有完全确定的值与之对应,则y就叫做x的函数。这样一来,无论y是用一个式子表示的,还是用多个式子表示的,甚至是否要通过式子表示都无关紧要了,只要对x的每一个值,y有完全确定的值与之对应,则y就是x的函数。不过当时柯西在所给函数定义中,用多个式子表示函数情况是在区间上的函数,或由等表示情况。著名的黎曼——狄里克雷的出现无疑是给柯西出了个难题,1837年，他定义函数:对于x的每一个值,如果有完全确定的值与之对应,不论x,y所建立的对应方式如何,y都叫做x的函数。这样,就是一个函数了，函数是不容易用解析式来表达的。这个定义和我们现在中学教科书中的函数概念已经很接近了,它不仅把变量之间的关系描述为对应变化的关系,而且就函数的解析表达式也做了讨论。前面两个世纪的人们把更多的注意力投放在函数的解析式上，数学家开始关注自变量的取值范围。把函数自变量的取值范围从实数域扩大到了复数域,相应地就有了实变函数论和复变函数论的区分。再有自变量在一个区间上的取值情况变得复杂起来,它有时可以无限制地取遍该区间上的所有值,有时必须按特定条件取值,新的情况促使人们寻找新的视角来定义函数的概念〔6〕。从19世纪70年代开始,康托尔发表了一系列文章,系统地分析和刻画了实数的连续性及无穷集合的性质,出现了连续统等问题的研究,逐步形成并诞生了集合理论.在康托尔开创了集合论理论后,由于其对于数学的基础性,成为现代数学描述的基础语言.因此,函数概念的定义再一次面临着新变化.1887年,戴德金的关于函数的定义:系统S上的一个映射蕴涵了一种规则,按照这种规则,S中每一个确定的元素s都对应着一个确定的对象,它成为s的,记作s.我们也可以说,s对应于元素s,s由映射作用于s而产生或导出;s经映象变换成s。在这个定义中,首次用映射来描述函数,而且明确了映射中所蕴含的“规则”即对应“关系”才是函数概念的内涵,已非常接近函数的现代定义了.1936年,布尔巴基给出了函数的现代定义:设E和F是两个集合,它们可以不同,也可以相同,E中的一个变元x和F中的变元y之间一个关系成为一个函数关系,如果对每个x∈E,都存在唯一的y∈F,它满足跟x的给定关系,表示为f→E。这就是用映射来表达的现代的函数概念.用集合论的语言定义函数的概念,可称为函数,也可以叫做映射.现在的高中数学教材中函数的定义:设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中的每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为定义在X上的函数,记作f:X→Y,通常也简记作y=f(x),x∈X,其中x称为自变量,y称为因变量,X称为定义域.简单的结论:现在函数的概念所包括的范围似乎是硕大无比了,但是,如果说这种扩展已经到顶了,那就未免为时过早。事实上,在本世纪四十年代,由于物理学的需要,发展了占函数,它在一点处不为零,而在R上的积分等于1,原来的函数定义就包含不了这种占函数。于是又有索伯列夫、洛朗和许瓦兹引入了广义函数的概念,把函数、测度以及占函数等概念统一起来了。这样,在函数概念的内涵上再一次得到了扩展。初等函数概念虽然是在初中才正式引入的,但是我国的数学课程实际上在小学阶段就开始渗透.比如,小学乘法运算中2的乘法公式,如果把乘数2看成是K,被乘数看成是自变量X,则乘积就是因变量Y,这可以是一个简单的比例函数,把被乘数1～9和乘积2、4、6、8、10、12、14、16、18看成两个集合,则“×2”就是它们之间的一个映射,这两个集合是一一对应关系.初中阶段函数的概念是：一般地，设某变化过程中有两个变量，如果对于在某一范围内的每一个确定的值x,都有唯一确定的值y与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，当函数关系用等式来表示时，这个等式叫做函数解析式（或函数关系式）．这里指出函数关系就是变量之间的“对应”关系,同时也给出了自变量的变化范围，但未指明定义域。这里仍然说函数是相依变量Y,但函数的本质是对应关系。明确了函数是对应关系后,历史上一度纠缠不清的解析定义及几何定义就是现在函数的两种不同表示法:解析法与图象法。此外,还有列表法。到了高中,通过代数式的学习，让学生了解到量与量之间的依存性;通过数的概念的发展,使学生积累关于“集合”概念的初步思想;通过数轴和坐标的教学,渗透关于“对应”概念的初步思想等,有了这些铺垫,学生在接触到严谨而抽象的集合函数概念时,才能比较容易接受.函数是用映射定义的：设A，B是非空的数集，如果按某个确实的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对眼，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相应的y的值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）│x∈A｝叫做函数的值域．简单地说，就是指一个关系作用于集合A中的每一个数，使它与集合B中的一个数相对应．“映射”是集合中的概念,其含义比“对应”更确切了,突出了方向性。本科数学专业的函数概念给定两个实数集D、M,若按照某一确定的对应法则f,D内每一个数x有唯一的一个数y∈M与它相对应,则称f是确定在数集D上的函数,记作f:D→M,其中集D称为函数的定义域,D中的任意数x根据法则f所对应的y,记作f(x),称为f在x的函数值。高等数学中的函数概念除了反映变量之间的依赖关系这一本质属性之外,还具有种种其它属性.函数概念与极限、连续、导数、微分、积分、级数及微分方程等等概念之间有着紧密的联系.对高等数学中出现的各种函数及相互间的结构联系进行归纳整理,可得到以下图1.图1从图1可看出,基本初等函数是构成一切函数和级数的基础.级数除了有可能收敛到初等函数和分段函数这两类常见函数外,还可能发散.这是有限叠加与无限叠加不同之处.函数定义范围的拓展情况可以从表2中得到反映.对这一问题的深入探讨,牵涉到实变、复变函数、拓扑、微分几何等多个数学分支学科知识。