因式分解——例题精选讲解——综合练习题附答案

【因式分解】——例题精选讲解——综合练习题附答案【例题精选】：（1）3223220155yxyxyx评析：先查各项系数（其它字母暂时不看），确定5，15，20的最大公因数是5，确定系数是5，再查各项是否都有字母X，各项都有时，再确定X的最低次幂是几，至此确认提取X2，同法确定提Y，最后确定提公因式5X2Y。提取公因式后，再算出括号内各项。解：3223220155yxyxyx=)431(522yxyyx（2）23229123yxyzxyx评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为3，且相同字母最低次的项是X2Y解:23229123yxyzxyx=)3129(2223yxyzxyx=)43(32223yxyzxyx=)1423(32xyyx（3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)评析：在本题中，y-x和x-y都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现，所以应提取y-x解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)=(y-x)(b-a)（4）把343232xyx分解因式评析：这个多项式有公因式2x3，应先提取公因式，剩余的多项式16y4-1具备平方差公式的形式解：343232xyx=2)116(43yx=2)14)(14(223yyx=)14)(12)(12(223yyyx（5）把827xyyx分解因式评析：首先提取公因式xy2，剩下的多项式x6-y6可以看作2323)()(yx用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。对于x6-y6也可以变成3232)()(yx先运用立方差公式分解，但比较麻烦。解：827xyyx=xy2(x6-y6)=xy2[2323)()(yx]=))((33332yxyxxy=))()()((22222yxyxyxyxyxyxxy（6）把2236)(12)(zzyxyx分解因式评析：把(x+y)看作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y)的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把(x+y)代换完全平方公式中的a，（6Z）换公式中的解：2236)(12)(zzyxyx=22)6()6)((2)(zzyxyx=(x+y-6z)2（7）把42222222)2(2)2(21yyyxyx分解因式评析：把x2-2y2和y2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。解：42222222)2(2)2(21yyyxyx=])2(2)2(2)2[(2122222222yyyxyx=2222222)4(21)22(21yxyyx=22)2()2(21yxyx（8）分解因式a2-b2-2b-1评析：初看，前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组，原式=(a+b)(a-b)-(2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组。解：a2-b2-2b-1=a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1)一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”。四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。（9）把a2-ab+ac-bc分解因式解法一：a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)解法二：a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c)=(a-b)(a+c)（10）把yxxyx33222分解因式解法一：yxxyx33222=)32)(()(3)(2)33()22(2xyxyxyxxyxxyx解法二：yxxyx33222=))(32()32()32()32()32(2yxxxyxxyxyxx说明：例（2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例。（2）题解法一1：1，解法二也是1：1；（3）题解法一是1：1，解法二是2：（-3）(11)分解因式123xxx评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。如是，就考虑“一、三”分组；不是，就考虑“二、二”分组解法一：123xxx=)1()1()1()(223xxxxxx=)1()1()1)(1)(1()1)(1(22xxxxxxx解法二：123xxx=)1()1()1(2223xxxxxx=)1()1()1)(1)(1()1)(1(22xxxxxxx解法三：123xxx=)1()1)(1()()1(223xxxxxxxx=222)1)(1()12)(1()1)(1(xxxxxxxxx（12）分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c2评析：本题将（a-b）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组解：(a-b)2-1-2c(a-b)+c2=[(a-b)2-2c(a-b)+c2]-1=[(a-b)-c]2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)（13）分解因式8a2-5ab-42b28a-21b解：8a2-5ab-42b2a+2b=(8a-21b)(a+2b)-21ab+16ab=-5ab（14）分解因式a6-10a3+16解：a6-10a3+16a3-2=(a3-2)(a3-8)a3-8=(a3-2)(a-2)(a2+2a+4)-8a3-2a3=-10a3（15）分解因式-x2+x+30解：-x2+x+30（先提出负号）x+5=-(x2-x-30)x-6=-(x+5)(x-6)+5x-6x=-x（16）分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7解：12(x+y)2-8(x+y)-72(x+y)+1=[2(x+y)+1][6(x+y)-7]6(x+y)-7=(2x+2y+1)(6x+6y-7)-14+6=8（17）把2233yxyxyx分解因式评析：此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。本题注意到后三项当把-1提出后，实际上是33yx按立方差公式分解后的一个因式：解：2233yxyxyx=)()(2233yxyxyx=)())((2222yxyxyxyxyx=)1)((22yxyxyx（18）把122222xyzzyx分解因式评析：把122xx看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式，这样分组后又可用平方差公式继续分解。解：122222xyzzyx=)2()12(222zyzyxx=22)()1(zyx=)1)(1(zyxzyx（19）分解因式6)2)(1(22xxxx评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是xx2这一显著特点，我们不妨设xx2=a可得（a+1）（a+2）-6即a2+3a+2-6，即a2+3a-4，此时可分解为（a+4）（a-1）解：6)2)(1(22xxxx=62)(3)(222xxxx=4)(3)(222xxxx=]1)][(4)[(22xxxx=)1)(4(22xxxx（20）把8)32)(42(22xxxx分解因式解：8)32)(42(22xxxx=812)2()2(222xxxx=20)2()2(222xxxx=]4)2][(5)2[(22xxxx=)42)(52(22xxxx（21）把72)209)(23(22xxxx分解因式评析：它不同于例3（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行分解，有)5)(4)(2)(1()209)(23(22xxxxxxxx。它又回到例3（1）的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x2-3x）解：72)209)(23(22xxxx=72)5)(4)(2)(1(xxxx=72)]5)(2)][(4)(1[(xxxx=72)103)(43(22xxxx=32)3(14)3(222xxxx=]2)3][(16)3[(22xxxx=)1)(2)(163()23)(163(222xxxxxxxx（22）把2)6)(3)(2)(1(aaaaa分解因式评析：不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有1×6=2×3=6利用结合律会出现a2+6解：2)6)(3)(2)(1(aaaaa=2)]3)(2)][(6)(1[(aaaaa=222)56)(76(aaaaa=222222)66(36)6(12)6(aaaaaa（23）把（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9分解因式评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5，如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（x+3）（x+5）分别乘开就会出现9)158)(78(22xxxx的形式，这就不难发现（x2+8x）作为一个整体a同时出现在两个因式中，即（a+7）（a+15）-9的形式，展开后有a2+22a+96，利用十字相乘616aa，得到（a+6）（a+16）而分解。解：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9=[（x+1）（x+7）][（x+3）（x+5）]-9=9)158)(78(22xxxx以下同于例3=9]105)8(22)8[(222xxxx=)8(22)8(222xxxx+96=]6)8)][(16)8[(22xxxx=)68)(168(22xxxx（24）把x（x+1）（x+2）（x+3）-24分解因式评析：通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现（x2+3x），第二和第三个一次式相乘出现（x2+3x）。可以设x2+3x=a，会有a（a+2）-24，此时已易于分解解：x（x+1）（x+2）（x+3）-24=[x（x+3）][（x+1）（x+2）]-24=24)23)(3(22xxxx=24]2)3)[(3(22xxxx=24)3(2)3(222xxxx=)43)(63(22xxxx（25）把10)3(2)13(222xxxx分解因式评析：不要急于展开22)13(xx，通过观察前两项，发现它们有公共的x2+3x，此时把它看成一个整体将使运算简化。解：10)3(2)13(222xxxx=10)3(21)3(2)3(2222xxxxxx=)33)(33(9)3(2222xxxxxx（26）把分解因式))((4)(2dcbadcba评析：我们可以观察到+前后的两项都有（a+b）和（c+d）。据此可把它们看作为一个整体。解：))((4)(2dcbadcba=))((4)]()[(2dcbadcba=))((4)())((2)(22dcbadcdcbaba=22)())((2)(dcdcbaba=22)()