1.9三角函数的简单应用

11.9三角函数的简单应用———潮汐问题一、教学目标1、知识与技能目标：巩固已学过的三角函数的知识，求给定自变量的函数值。已知三角函数值，求角。2、能力目标：培养学生数学的实际应用能力和意识。3、情感、态度和价值观：让学生进一步了解数学来源于生活。二、教学重点：用三角函数刻画潮汐变化规律。三．教学难点：对实际问题的数学解释。四．学情分析—————————————————————————————————————————————————————————————————————————五．学法指导：启发，类比，小组讨论六．教学方法：探究交流，讲练结合七、教学过程：1、新课引入：在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用。2、提出问题：若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？（生答：水深情况等）我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表。那么这张表格是如何产生的呢？请同学们看下面这个问题。问题1：如图所示，下面是某个码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：时间0.001.003.006.008.009.0012.0015.0018.0021.0024.00水深5.06.257.55.02.842.55.07.55.02.55.0水的深度变化有什么特点吗？（生答：水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。）大家发现，水深变化并不市杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律，为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律，需要画图。电脑呈现作图结果。2通过观察图像，发现跟我们前面所学过哪个函数类型非常的相似？（生答：跟三角函数模型。）请同学们把其中的A、、、b求出来。(生答：)有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了，下面同学算一下在4时的时候水深是多少？（学生计算，最后教师呈现水深关于时间的数值表）时刻1.002.003.004.005.006.007.008.009.0010.0011.0012.00水深5.0006.2507.1657.5006.2505.0003.7542.8352.5002.8353.7545.000时刻13.0014.0015.0016.0017.0018.0019.0020.0021.0022.0023.0024.00水深6.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.7545.000问题2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？师生一起分析：货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？解我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个，那么在[0，24]范围内,其他一些解该怎么求呢？（图像）发现：在[0，24]范围内，方程的解共有4个。得到了4个交点的横坐标值后，大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？（生答：货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港。）3大家看看刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？问题3：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？分析：我们先把货船安全需要满足的条件给写出来：安全即需要：实际水深安全水深即：，通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么P点的坐标如何求得呢？P点横坐标即为方程解，很显然，精确解我们是无法求得，我们只能是求得其近似解，前面我们在求方程的近似解的时候通常采用什么方法？（二分法）由图得点P在[6，7]，故我们只需要算出6，6.5，7三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。时间实际水深安全水深是否安全6．05米4．3米安全6．54．2米4．1米较安全7．03．8米4．0米危险货船应该在6时30分驶离港口。3、课堂小结：思想方法：（1）对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想；（2）在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；4（3）在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，用到了数形结合的思想；（4）在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想。八．板书设计九．关键词：三角函数的简单应用十．教学反思第二课时随堂训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin(100πt＋π3)，则当t＝1200s时，电流强度I为()A．5AB．2.5AC．2AD．－5A解析：当t＝1200s时，I＝5sin(100π×1200＋π3)＝5cosπ3＝2.5A.答案：B2．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－πθπ)与时间t(s)满足函数关系式θ＝12sin(2t＋π2)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是()A.12，1πB．2，1πC.12，πD．2，π解析：t＝0时θ＝12sinπ2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故频率为1π.答案：A3．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ(|φ|π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()5A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3解析：T＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sinφ＝12.∵－π2φπ2，∴φ＝π6.答案：A4．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()解析：令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，则l＝θ，sinθ2＝d2，∴d＝2sinθ2＝2sinl2，即d＝f(l)＝2sinl2(0≤l≤2π)，它的图象为C.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，(其中t∈[0,60])．解析：如图，秒针每秒钟走10π60＝π6(cm)，∴LAB＝π6t(cm)，∴2θ＝πt65＝πt30，∴θ＝πt60，∴dAB＝5×sinπt60×2＝10sinπt60.答案：10sinπt606．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ω6x＋φ)＋B(A0，ω0，|φ|π2)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．解析：由条件可知A＋B＝9，－A＋B＝5，∴B＝7，A＝2.又T＝2(7－3)＝8，∴ω＝π4，令3×π4＋φ＝π2，∴φ＝－π4，∴f(x)＝2sin(π4x－π4)＋7.答案：f(x)＝2sin(π4x－π4)＋7三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，求这个振子振动的函数解析式．解析：设函数解析式为y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，由图象可知T＝2×(0.5－0.1)＝45，∴ω＝2πT＝5π2.∴5π2×0.1＋φ＝π2.∴φ＝π4.∴函数的解析式为y＝2sin(5π2t＋π4)．8．一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)．它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ωrad/s做圆周运动．已知绳子的长度为l，求：(1)P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；(2)点P的运动周期和频率；(3)如果ω＝π6rad/s，l＝2，φ＝π4，试求y的最值；(4)在(3)中，试求小球到达x轴的正半轴所需的时间．解析：(1)y＝lsin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)．(2)由解析式得，周期T＝2πω，频率f＝1T＝ω2π.(3)将ω＝π6rad/s，l＝2，φ＝π4代入解析式，得到y＝2sinπ6t＋π4，t∈[0，＋∞)．7最小正周期T＝2πω＝2ππ6＝12.当t＝12k＋1.5，k∈N时，ymax＝2，当t＝12k＋7.5，k∈N时，ymin＝－2.(4)设小球经过时间t后到达x轴正半轴，令π6t＋π4＝2π，得t＝10.5，∴当t∈[0，＋∞)时，t＝12k＋10.5，k∈N，∴小球到达x轴正半轴所需要的时间为10.5＋12k，k∈N.尖子生题库9．(10分)在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4∶00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.(1)若从10月10日0∶00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)10月10日17∶00该港口水深约为多少？(保留一位小数)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3m?解析：(1)依题意知T＝2πω＝12，故ω＝π6，h＝8.4＋162＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sin(π6t＋φ)＋12.2；又因为t＝4时，d＝16，所以sin(4π6＋φ)＝1，所以φ＝－π6，所以d＝3.8sin(π6t－π6)＋12.2.(2)t＝17时，d＝3.8sin(17π6－π6)＋12.2＝3.8sin2π3＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin(π6t－π6)＋12.210.3，有sin(π6t－π6)－12，因此2kπ＋7π6π6t－π62kπ＋116π(k∈Z)，所以2kπ＋4π3π6t2kπ＋2π，k∈Z，所以12k＋8t12k＋12.令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)，故这一天共有8小时水深低于10.3m.