对面积的曲面积分教案设计

对面积的曲面积分教案设计课题对面积的曲面积分课时1课时教学目的和要求教学目的：使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。教学要求：1.了解对面积的曲面积分的概念；2.理解对面积的曲面积分的性质；3.掌握对面积的曲面积分的计算方法；重点难点对面积的曲面积分的计算教学方法讲授（板书）教学内容一、概念的引入前面介绍了第一类曲线积分,Lxyds，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做？例1若曲面是光滑的，它的面密度为连续函数,,xyz，求它的质量。解：“分割”：用网格线分割曲面为12,,,nSSS,“近似”：,,iiiiS;“求和”：,1,niiiiiS;“取极限”：,01lim,niiiiiS.二、对面积的曲面积分1.定义：设曲面是光滑的，函数,,fxyz在上有界，把分成n个小块iS（iS同时也表示第个小块曲面的面积），设点,,iii为iS上任意取定的点，作乘积,,iiiifS，并作和,1,niiiiifS。如果当各小块曲面的直径的最大值0时，这和的极限总存在，则称此极限为函数,,fxyz在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为,,fxyzdS，即,01,,lim,niiiiifxyzdSfS如果是闭曲面，积分号写成2.存在条件：,,fxyz在光滑曲面上连续。3.对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质积分区域可加性：若可分为分片光滑的曲面1和212,,,,,,fxyzdSfxyzdSfxyzdS；线性性质：设1k，2k为常数，则12,,,,kfxyzkgxyzdS特别地若,,1fxyz，的面积SdS。对称性：对面积的曲面积分有类似于三重积分的对称性，设对称于xOy(或yOz或xOz)坐标面。若,,fxyz关于z（或x或y）是奇函数，则,,0fxyzdS；若,,fxyz关于z（或x或y）是偶函数，1,,2,,fxyzdSfxyzdS，其中1是位于对称坐标面一侧的部分。三、计算方法一投：将曲面投影到坐标面得投影区域；二代：将曲面方程代入被积函数；三换：换面积元dS；按照曲面的不同情况分为以下三种：1.若曲面：,zzxy22,,,,,1xyxyDfxyzdSfxyzxyzzdxdy；2.若曲面：,yyxz22,,,,,1xzxzDfxyzdSfxyxzzyydxdz；3.若曲面：,xxyz22,,,,,1yzyzDfxyzdSfxyzyzxxdydz四举例例：求球面2222xyza在hza部分的质量0ha，已知球面上一点的面密度为该点竖坐标的倒数1,,xyzz。解：1,,MxyzdSdSz球面在xOy平面的投影：2222xyah，222zaxy，hza，222222222211xyxydSzzdxdydxdyaxyaxy222adxdyaxy22222222211xyxyDDaaMdSdxdydxdyzaxyaxyaxy22222002lnahaaddazah例2求xyzdS，:0,0,0,1xyzxyz所围立体的边界的曲面。解：1:0,0,0,1xyzyz，2211yzdSxxdydzdydz2:0,0,0,1yxzxz2211xzdSyydxdzdxdz3:0,0,0,1zxyxy2211xydSzzdxdzdxdy4:1zxy在xOy平面的投影区域0,0,1xyxy2213xydSzzdxdydxdy123400031xyDxyzdSxyzdSxyxydxdy1100331120xdxxyxydy例3求2zdS，2222:0xyzaa解：把曲面分为1和2，1：222zaxy,2:222zaxy曲面在xOy平面的投影222,xyDxyxya1212222zdSzdSzdS2222221xyxyDaxyzzdxdy2222xyDaaxydxdy222400423aadada课程总结分析首先通过求光滑曲面的质量，引入对面积的曲面积分的概念，介绍了“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想，然后阐述对面积曲面积分的存在条件和性质，最后介绍了对面积曲面积分的计算方法。本章思考题1.对面积曲面积分存在的条件是什么？2.对面积的曲面积分除了求曲面的质量，还有什么应用？主要参考资料1.同济大学数学系编著.高等数学（第六版.下册）[M].北京：高等教育出版社，2007.2.曹圣山，生汉芳，王新心..大学教材全解.高等数学[M].延吉：延边大学出版社，2012.备注