正弦交流电路基础知识

第3章正弦交流电路3.1正弦电压和电流3.2正弦量的相量表示法3.3RLC元件VAR的相量形式3.4复阻抗3.5导纳3.6正弦交流电路的分析及计算方法3.7正弦交流电路的功率3.8谐振3.9非正弦周期信号的电路第3章.正弦交流电路分析3.1正弦电压和电流(SinusoidalVoltageandcurrent)随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流。统属于正弦波。1.瞬时值表达式及参考方向其瞬时值表达式为：（也可用Cosωt）)2(tCosu(t)=VmSin(ωt)(v)式中ω=2πf2.正弦量三要素：(1)最大值（振幅）UmIm;(2)周期T（秒）;频率（HZ）角频率（rad/s）Tf1fT22(3)相位和初相例：u(t)=100Sin(ωt+30o)(v)ωt+30o=0时ωt=-30o3.相位差(即两个同频率正弦波的初相之差)例：u1(t)=Vm1Sin(ωt+φ1)u2(t)=Vm2Sin(ωt+φ2)相位差θ=ωt+φ1-ωt-φ2=φ1-φ2若：θ0u1超前u2θ0u2超前u1规定0θπ范围内4.有效值:以周期电压u为例，它的有效值（用V表示）定义为TodttuTV21T—周期当u(t)=VmSinωt时dttSinVTVTom221应用Cos2а=2Cos2а-1得：mmVVV707.021当一个周期电流i（t）通过电阻R时，在一个周期内产生的热量为：若一个量值为I的直流电流也通过同一个电阻R，它在的时间T内所产生的热量为：Q1=Q2即：TodttuRTRV)(122mToVdttuTV21)(12注：只有正弦量时，才有倍的关系23.2正弦量的相量表示法3.2.1相量法的基本概念相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的。故我们先对复数进行讨论。1.表示法:1)直角坐标形式复数A可表示为A=a1+ja2;其中：虚数的单位1ja1称为复数的实部（Realpart）a2称为复数的虚部（Imaginarypart）2)图示法：由此得到复数的三角函数形式:A=aCosθ+jaSinθ=a(Cosθ+jSinθ)例：A=5·Cos36.9o+j5Sin36.9o=4+j33)极坐标表示法jSinCosejaeaAj即用模和幅角来表示复数2.直角←→极坐标（互换）已知：a,θ→a1,a2;a1=aCosθa2=aSinθ已知：a1,a2→a,θ2221aaa121aatg;例：1)A=4+j3ojA9.365343.2.2复数的基本运算若：aA；bBa=bа=β则：A=B2.乘除运算A·B=(a1+ja2)(b1+jb2)=(a1b1-a2b2)+j(a2b1+a1b2)babeabaBAj)(baebabeaeBAjjj)(显见相加减时，用直角坐标法；乘法、除法时，用极坐标法。3.2.3相量概念看一下两正弦量相加。i1(t)=Im1Sin(ωt+φ1)i2(t)=Im2Sin(ωt+φ2)i(t)=i1(t)+i2(t)利用三角公式和差化积ej（ωt+φ)=Cos(ωt+φ)+jSin(ωt+φ)∵i1(t)=Im1Sin(ωt+ф)=Im[Im1ej(ωt+φ)]tjmmjtjmmeIIeeII111tjmmtjjmmeIIeeII111上式表明，通过数学方法，把一个实数范围内的正弦时间与一个复数函数的复指数函数一一对应起来。jmmmmeIIII有效值：jIeIImIti)(tjmmtjmmeIIeIIti)(而：mIti)(例：已知)20314(22)(otSinti111111)()(mmmIItSinIti222222)()(mmmIItSinIti2121mmmIII22112111SinjICosISinjICosImmmm)()(2212121SinISinIjCosICosImmmmABtgBAjBA122)()(122ABtgtSinBAti把一个三角运算转换了变成复数运算。3.2.4几个定理1、若A(t)和B(t)为实变量t的任意复值函数，а为实数那么，对所有的这种函数A(t)和B(t)则有：Re[aA(t)]=аRe[A(t)];Im[аA(t)]=аIm[A(t)]总结：Im[а1A(t)+а2B(t)]=а1Im[A(t)+а2Im[B(t)]定理2:若A为—复数，则有：tjmtjmtjmAejIAedtdIAeIdtd即：取虚部运算和微分运算可以交换。定理3：设A、B为复数。ω为角频率，则对所有的t若等式：Im[Aejωt]=Im[Bejωt]则：A=B;反之，若A=B则：Im[Aejωt]=Im[Bejωt]对所有的t。3.2.5KCL、KVL的相量形式设：)(kkmktSinIitjkmmeIItjkmnkmnkkeIIi11由定理1可知：011nktjkmnkmkeIIi故有：nkkmI10)0(1nkkI同理于KVL：01nkkmU)0(1nkkU3.3RLC元件VAR的相量形式3.3.1电阻元件式中：ujmmeUUijmmeII;u=i·R则有：UmSin(ωt+φu)=Im·Rsin(ωt+φi)由等式可知，振幅：Um=R·Im；φu=φi（相位）相量位关系：3.3.2电容元件相量关系：tjmmtjmmeUIdtdCeIItjmmtjmmeUcjIeUdtdIC这就是电容元件的相量关系：UcjIouuiCUcUjI90)(90ojejI=ωCU2ui说明：电容上电流和电压的相位差为90o，且电流超前90o。有效值：（模）相位差：例：若C=4μF；u(t)=500Sin(1000t+40o)(v)i(t)=?由：mmUcjIdtduCti)(mmUcjIooc9040500oo130213050062801046∴i(t)=2Sin(1000t+130o)(A)由可知；f↑Xc↓f↓Xc↑f=0Xc→∞相当于直流电通过。CXC13.3.3电感元件例1：已知：R=4Ω，L=1H，i(t)=2Sin(3t-30o)(A)求：us(t)oosmjU302133024oo606308)(9.6102.193.9Vjo∴us(t)=10Sin(3t+6.9o)(V)例2：解：120)(90120jvUo)(81590120AjRUIoRR：)(1090120103.8310006AjUCjIocC：L：)(4103010001203AjjLjUIL由KVL：864108jjIIIICRL)(12710Ao))(1271000(210)(AtSintio3.4复阻抗上节我们讨论了三种基本元件VAR的相量形式及基尔霍夫定律的相量形式：（在一致参考方向下）0I0UIRUiuRIUR：；U=RI，φu=φi；L：；U=XcI，φu=φi+90oILjUouiLIU90C：；U=IXc，φi=φu+90oIjxcjIUcRLC串联电路的阻抗X=XL-XC称为电路的电抗部分。显见Z=R+jx是个复数。即：ziuiuIUIUIUR：ZR=R;L:LLjXLjIUZCCjXCjIUZ1C:对于RLC串联：Z=ZR+ZL+ZC=R+jxL-jxc=R+jX（1）0θz90o即：XLXc时（ULUc）（3）0θz≥-90oXL-Xc0由以上分析可知，θz的变化也就是阻抗Z的变换。反映了电路本身的特性。当X0时，电路的最简形式为RL串联。当X0时，电路的最简形式为RC串联。3.5导纳把阻抗的倒数称为导纳，记为Y（S）jBGUIZY1G—电导分量B—电纳分量GRZYRR11R:LLLjBLjZY11;L:LLXB1感纳;C:CCCjBCjZY1CCXB1;容纳与阻抗有对偶性：串←→并；I→U，U→I；C→L，L→C；R→G掌握这种规律后，分析方法与阻抗一样。3.6正弦交流电路的分析及计算方法3.6.1相量模型C→Zc（1/jωc）;L→ZL（jωL）;R→ZR（R）参考方向不变。UIui.,dttiCdtdiLRitu)(1)()1(CLjRIU3.6.2分析方法及步骤(与第二章完全一致)1、作出相量模型。2、由相量模型进行计算。3、根据求得的相量模型写出相应的正弦量。4、画出对应的相量图。1)无源网络的等效电路这里注意：jBGXRXjXRRjXRZYabab22221122XRRG22XRXB;RG1显见:∵A=a+jb(一个复数)除非b=0;否则：（这一点要注意）aARe11例1）求f1=796HZ，f2=1.5f1，f3=2f1，时的等效电路。解：∵ω=2лf∴ω1=6.28×796=5000rad/s2)、f2=1.5f1时ω2=7500rad/s3)、f3=2f1时ω3=104rad/s例2、用网孔分析法求解i1(t),i2(t)解：先作出相量模型ω=2jωL=j2Ω211jCj;IiUu,;根据相量模型列出网孔方程：oIIj010)21(210)211(21IjI21)5.01(IjIoIIjj010)5.01)(21(22解得：)(8.6048.22AIo)(8.10513.51AIo;故有：))(8.1052(213.5)(1AtSintio))(2.602(248.2)(2AtSintio;例3用节点法求各支路稳态电流，并作出相量图解：利用导纳相量模型ω=1)(125.0811SjjLjYL)(05.02011SRYR；)(1.0SjCjYC列出节点方程：105.0100)125.01.005.0(1oOUjj)(5.265.895.2658.50500025.005.0051VjUoooo)(5.632.115.265.8990125.011AUYIoooL故)(5.11695.81.0112AUjUYIoC)(5.6323.2213AIIIo例4求代维南等效电路解：先画出相量模型1）求用节点法ocU)(2UsIUCjUCCjG221211)(12212UgUCjUCjm)()(122122GgcjccIgcjmsm22221122112)(0)(CjCjgCjCCjGCjgICCjGUmmS故由行列式：2）求Zab用短路电流法：12112)(UgcjUgUcjImmsc)(2111CCjGIUs)()(212CCjGIgCjIsmsc故：smmsmscababIgCjCCjGGgCjCCIgC