关于线性代数的论文

《关于线性代数的论文》姓名：白月东学号：201212103030班级：2012级网络普高院系：计算机科学与技术学院指导教师：包志华分块矩阵的应用摘要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，在线性代数中占有非常重要的地位。分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。本文将分块矩阵运用于行列式运算、解线性方程组、求逆矩阵的问题以及特征值的问题的求解，还包括有关矩阵秩的证明和矩阵相似问题。关键词：分块矩阵；行列式；矩阵的秩；逆矩阵；特征值.绪论：在已有的相关文献中，分块矩阵的一些应用如下：（1）从行列式的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用。（2）借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩方面的应用。（3）利用分块矩阵求高阶行列式。如设A、C都是n阶矩阵，其中0A，并且ACCA，则可求得ABADBCCD。（4）利用分块矩阵求解线性方程组。分块矩阵有非常广泛的应用，本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利。1.分块矩阵的定义及相关运算性质1.1分块矩阵的定义矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的。就如矩阵的元素(数)一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理。把矩阵分块运算有许多方便之处。定义1设A是一个mn矩阵，若用若干横线条将它分成r块，再用若干纵线条将他分成s块，于是有rs块的分块矩阵，1111...............srrsAAAAA，其中ijA表示的是一个矩阵。1.2分块矩阵的相关运算性质1.2.1加法设ijmnAa，ijmnBb，用同样的方法对BA,进行分块ijrsAA，ijrsBB，其中ijA，ijB的级数相同，则ijijrsABAB。1.2.2数乘设,ijijmnrsAaAk是任意数，定义分块矩阵ijrsAA与k的数乘为ijrskAkA1.2.3乘法设,ijijsnnmAaBb分块为,ijijrllrAABB，其中ijA是ijsn矩阵，ijB是ijnm矩阵，定义分块矩阵ijrlAA和ijlrBB的乘积为1122...,1,2,...;1,2,3,...,ijijijilljCABABABitjl。1.2.4转置设ijsnAa分块为ijrsAA，定义分块矩阵ijrsAA的转置为jisrAA1.2.5分块矩阵的初等变换分块矩阵A的下列三种变换称为初等行变换：(1)对调A的两行(用ijrr表示对调i、j两行);(2)用一个可逆阵K左乘A的某一行的所有子矩阵(用iKr表示用K左乘第i行);(3)将A的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵K再加到另一行的对应子矩阵上去(ijrKr表示将第j行左乘K再加到第i行)。将上述定义中的“行”换成“列”,“左乘”换成“右乘”,即得分块矩阵的初等列变换的定义,分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。2.1分块矩阵在解线性方程组的应用设n个未知数m个方程的线性方程组为：11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（1），设ijmnAa,12X=,,,Tnxxx（其中T表示矩阵的转置）,12,,,TmBbbb,则方程（1）的矩阵形式为AX=B。把方程（1）的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式111211212222AAxBAAxB，其中111111rrrraaAaa，111121rnrrrnaaAaa，11112AAA，111211rrrmmraaAaa，111221rrrnmrmnaaAaa，22122AAA，112TrXxxx，212TrrnXxxx，112TrBbbb，212TrrmBbbb，方程组（1）有解时，我们解方程组（1）时总是把（1）化成简单的同解方程组，从而求出其解。定理3.设方程组（1）有解且11,rArnrAr，则方程组11121AAXB与AXB同解。例5．已知方程组1112132223243132333441424344212212330xxxxxxxxxxxxxx（1）求此方程组的解并证明此方程组和方程组111213222324212xxxxxx（2）同解。解：令1210011111212331A，11121210()0111AA，其中111201A，121011A，1210B，112B，121011210112101011120111201112112110111200000233100111200000，所以此方程组的齐次线性方程组的解为1232111001cc，又3200是方程组的一个特解，所以此方程组的解为12323112100010cc，由上可知()2rA并且11()2rA，所以由定理3可证方程组（1）和（2）同解。结论本文通过大量的例题对分块矩阵在计算与证明两方面的应用进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵秩的相关问题以及矩阵相似等问题；在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高级行列式的问题，在求逆矩阵方面，本文着重论述了将一个高级矩阵进行矩阵分块分成二级矩阵后，通过讨论四子块的各自特点来求原矩阵逆矩阵的快捷方法。通过本文的论述，充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了分块矩阵和矩阵分块在代数学中所具有的重要地位，当然在对分块矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨。参考文献[1]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2007：141-149.[2]杜之韩,刘丽,吴曦.线性代数[M].成都：西南财经大学出版社，2003：61-68.[3]郝玉琴.利用矩阵的分块法解线性方程组[J].唐山师专学报，1999(5):37-38.[4]王萼芳.线性代数学习指导[M].北京：清华大学出版社，2008：104-108.[5]祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].科技信息，2009：1-4.[6]孔庆兰.分块矩阵的应用[J].枣庄学院报，2006（5）：24-25.