山东省2020届高考数学-权威预测-圆锥曲线的定义、性质和方程二-新人教版

2020届山东新课标高考数学权威预测：圆锥曲线的定义、性质和方程(二)【例5】已知椭圆)0(12222babyax的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；解：（1）∵abycxcFMM21,),0,(则，∴acbkOM2。∵ABOMabkAB与,是共线向量，∴abacb2，∴b=c,故22e。（2）设1122121212,,,2,2,FQrFQrFQFrraFFc22222221212122121212124()24cos11022()2rrcrrrrcaarrrrrrrr当且仅当21rr时，cosθ=0，∴θ]2,0[。【例6】设P是双曲线116422yx右支上任一点.（1）过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E，F，求||||PFPE的值；（2）过点P的直线与两渐近线分别交于A、B两点，且AOBPBAP求,2的面积.解：（I）设16414),,(20202000yxxyxP则∵两渐近线方程为02yx由点到直线的距离公式得.5165|4|||||2020yxPFPF（II）设两渐近线的夹角为，,53tan11cos,34|4122|tan2则54sin,1368,136)2(36)2(,1164,342,32,2.5||||)(,5||,5||),2,(),2,(,212212212221021021212211xxxxxxyxxxyxxxPBAPxxOBOAABPxOBxOAxxBxxAAOB即得代入又的内分点是设2921xx95429521)sin(||||21OBOASAOB【例7】如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为118，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率．解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(－c，0)，C(2c，h)，B(c，0)，其中c为双曲线的半焦距，c=21|AB|，h是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E的坐标为cccxE19711812118，hhyE19811811180．设双曲线的方程为12222byax，则离心率ace．由点C、E在双曲线上，得.13616436149,14122222222bhacbhac①②②由①式得1412222acbh代入②式得922ac所以，离心率322ace【例8】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解：（I）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，由已知得：3ac，1ac，2a，1c，2223bac椭圆的标准方程为22143xy（Ⅱ）设11()Axy，，22()Bxy，，联立221.43ykxmxy，得222(34)84(3)0kxmkxm，22222212221226416(34)(3)03408344(3).34mkkmkmmkxxkmxxk，即，则，又22221212121223(4)()()()34mkyykxmkxmkxxmkxxmk，因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D，，1ADBDkk，即1212122yyxx，1212122()40yyxxxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，2271640mmkk解得：12mk，227km，且均满足22340km，当12mk时，l的方程为(2)ykx，直线过定点(20)，，与已知矛盾；当227km时，l的方程为27ykx，直线过定点207，所以，直线l过定点，定点坐标为207，★★★自我提升1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆23x＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C)（A）23（B）6（C）43（D）122．如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1F、)0,3(2F，一条渐近线方程为xy2，那么它的两条准线间的距离是（C）A．36B．4C．2D．13．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(B)(A)1617(B)1615(C)87(D)04．双曲线的虚轴长为4，离心率26e，F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（A）.A、28B、24C、22D、85．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是221164yx．6．过椭圆左焦点F，倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为(B)(A)23(B)23(C)12(D)227．椭圆+=1的离心率e=，则m=___________m=8或2。8．F1、F2是椭圆1byax2222（ab0）的两焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2，其中∠BAF2=900，则椭圆的离心率是________369．已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以F2为焦点，F1为其顶点，若P为两曲线的公共点，且e|PF2|=|PF1|，则e＝__________。3310．如图，已知三点A(－7,0)，B(7,0)，C(2,－12).①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，即||||||||||PBPAACBCAB214故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支，其方程为xyx224810()；②经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上,总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，其方程为xy221961471。11．如图，A为椭圆12222byax(0)ab上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2．当AC垂直于x轴时，恰好|AF1|:|AF2=3:1（I）求该椭圆的离心率；（II）设BFAF111，CFAF222，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．解：（I）当AC垂直于x轴时，12:3:1AFAF，由122AFAFa，得132aAF，22aAF在Rt△12AFF中，21AF222(2)AFc解得e=22．（II）由e=22，则221222eacaab，cb．焦点坐标为12(0)(0)FbFb，，，，则椭圆方程为122222bybx，化简有22222byx．设00()Axy，，1122()()BxyCxy，，，，①若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为)(00bxbxyy代入椭圆方程有0)(2)23(20200202ybybxbyybxb．由韦达定理得：022022023bxbybyy，∴0202223bxbyby所以bxbyyCFAF02022223，同理可得bxbbxb0012323故=66bb．②若直线ACx轴，bx0，12，5231bbb∴＝6．综上所述：是定值6．xyABCOF1F2yxABOCDO＇12．已知椭圆12222byax（a＞b＞0）上两点A、B，直线kxyl:上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线l的方程。解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O＇（0，1），半径r=3。设正方形的边长为p，则rp22，∴23p，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即223，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。（1）设AB：y=x-2由y=x-2CD：y=x+4x2+y2-2y-8=0得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆12222byax上，∴a2=12，b2=4，椭圆的方程为141222yx。（2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得16,54822ba，此时b2＞a2（舍去）。综上所述，直线l方程为y=x+4，椭圆方程为141222yx。