微专题圆锥曲线几何条件的处理

微专题圆锥曲线几何条件的处理策略1.平行四边形处理策略例1.（2015，新课标2理科20）已知椭圆222:9(0)Cxymm,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，47或47．【解析】试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,AB的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB的中点和直线l的斜率；设直线l的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM方程并与椭圆方程联立，求得M坐标，利用2PMxx以及直线l过点(,)3mm列方程求k的值．试题解析：(Ⅰ)设直线:lykxb(0,0)kb，11(,)Axy，22(,)Bxy，(,)MMMxy．将ykxb代入2229xym得2222(9)20kxkbxbm，故12229Mxxkbxk，299MMbykxbk．于是直线OM的斜率9MOMMykxk，即9OMkk．所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点(,)3mm，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0k，3k．由(Ⅰ)得OM的方程为9yxk．设点P的横坐标为Px．由2229,9,yxkxym得2222981Pkmxk，即239Pkmxk．将点(,)3mm的坐标代入直线l的方程得(3)3mkb，因此2(3)3(9)Mmkkxk．四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即2PMxx．于是239kmk2(3)23(9)mkkk．解得147k，247k．因为0,3iikk，1i，2，所以当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形．考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．2.直角三角形处理策略例2.椭圆22221xyab（0ab）的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为5，（1）求椭圆的方程；2214xy（2）过点(0,4)D的直线l与椭圆C交于两点,EF，O为坐标原点，若OEF为直角三角形，求直线l的斜率解析：（2）根据题意，过点(0,4)D满足题意的直线斜率存在，设:4lykx，联立22414ykxxy消去y得22(14)32600kxkx，几何性质代数实现对边平行斜率相等，或向量平行对边相等长度相等，横（纵）坐标差相等对角线互相平分中点重合几何性质代数实现（1）两边垂直斜率乘积为-1，或向量数量积为0（2）勾股定理两点的距离公式（3）斜边中线性质（中线等于斜边一半）两点的距离公式222(32)240(14)64240kkk令0，解得2154k。设,EF两点的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy，则1223214kxxk，1226014xxk（1）当EOF为直角时，所以0OEOF，即12120xxyy，所以21212(1)4()160kxxkxx所以222215(1)32401414kkkk，解得19k（2）当OEF或OFE为直角时，不妨设OEF为直角，此时1OEkk，所以111141yyxx即221114xyy①又221114xy②，将①代入②，消去1x得2113440yy，解得123y或12y（舍去）将123y代入①得1253x，所以1145ykx，经检验所得k值均符合题意，综上，k的值为19k和5k3.等腰三角形处理策略例3.在直角坐标系xOy中，已知点(2,0),(2,0)AB,E为动点，且直线EA与直线EB斜率之积为12，（1）求动点E的轨迹C方程；（2）设过点F(1,0)的直线l与椭圆C交于两点,MN,若点P在y轴上，且||||PMPN，求点P的纵坐标的范围解析：（1）设动点E的坐标为(,)xy，依题意可知1222yyxx整理得221(2)2xyx，所以动点E的轨迹C的方程为221(2)2xyx（2）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)ykx，将(1)ykx代入2212xy，并整理得，2222(21)4220kxkxk，2880k设11(,)Mxy，22N(,)xy，则2122421kxxk，122221xxk设MN的中点为Q，则22221Qkxk，2(1)21QQkykxk，所以2222(,)2121kkQkk，由题意可知0k，又直线MN的垂直平分线的方程为22212(x)2121kkykkk，几何性质代数实现（1）两边相等两点的距离公式（2）两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反（3）三线合一（垂直且平分）垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式令0x解得211212Pkykkk，当0k时，因为1222kk，所以120422Py当0k时，因为1222kk，所以120422Py，综上所述，点P的纵坐标的范围是22[,]44.4.菱形的处理策略例4.椭圆M：22221xyab（0ab）过点(0,1)，且离心率为63e（1）求椭圆M的方程；（2）是否存在菱形ABCD，同时满足以下三个条件：①点A在直线2y上；②点,,BCD在椭圆M上；③直线BD的斜率等于1；如果存在，求出点A的坐标，如果不存在，说明理由。解析：（1）由题意得222163bcaabc解得23a，21b；所以椭圆M的方程为2213xy（2）不存在满足题意的菱形ABCD，理由如下：假设存在满足题意的菱形ABCD，设直线BD的方程为yxm，且11(,)Bxy，22D(,)xy，线段的中点00Q(,)xy，A(t,2)，则由2233xyyxm可得224230ymym，由22(2)16(3)0mm可得22m，又122myy，所以12024yymy，若四边形ABCD为菱形，则Q是AC的中点，C点的纵坐标0y22212cmy，又因为点C在椭圆上，所以y1c与y1c矛盾，故不存在满足题意的菱形ABCD。5.圆的处理策略例5.已知椭圆22:143xyM，点1F，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点1F的直线l（不与x轴重合）交M于,AB两点，（1）求M的离心率及短轴长；（2）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.（1）由22143xy得2,3ab，所以M的离心率为12，短轴长为23；（2）方法一：由题意知(2,0)C，1(1,0)F设000(,)(22)Bxyx，则2200143xy，因为10000(1,)(2,)BFBCxyxy222000001233504xxyxx几何性质代数实现（1）点在圆上点与直径端点向量数量积为零（2）点在圆外点与直径端点向量数量积为正数（3）点在圆内点与直径端点向量数量积为负数所以(0,)2B，所以点B不在以AC为直径的圆上，即不存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上。方法二、由题意可设直线的方程为1xmy，11(,)Axy，22(,)Bxy由221431xyxmy可得22(34)690mymy所以122634myym，122934yym所以1122(2,)(2,)CACBxyxy21212(1)()1myymyy22296(1)13434mmmmm25034m，因为cos(1,0)||CACBCCACB所以(,)2C，所以(,)2B，所以点B不在以AC为直径的圆上，即不存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上。6.角的处理策略例6.【2013.山东，理科22】椭圆C：222210xyabab的左、右焦点分别是12,FF，离心率为23，过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（2214xy）（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接12,PFPF，设12FPF的角平分线PM交C的长轴于点,0Mm，求m的取值范围；3322m解析：（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知1(3,0)F，2(3,0)F则1||3MFm，2||3MFm，由椭圆定义得12||||4PFPF，123||23PF因为PM平分12FPF，所以1122||||3||||3PFMFmPFMFm，则112||3||||33PFmPFPFmm，所以132(3)||4233mmPF所以2(3)23233m，即3322m法二：由题意可知，1212||||||||PFPMPFPMPFPMPFPM，即1212||||PFPMPFPMPFPF，设00P(,)xy,其中204x，将向量坐标代入并化简得23000m(416)312xxx，因为204x，所以03m4x而0(2,2)x，所以33(,)22m【跟踪变式训练】1.【转化为平行的处理】【2016高考新课标3理数】已知抛物线C：22yx的焦点为F，平行于x轴的两条直线12,ll分别交C于,AB两点，交C的准线于PQ，两点．（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；（II）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21yx．几何性质代数实现（1）锐角，直角，钝角角的余弦（向量数量积）的符号（2）倍角，半角，平分角角平分线性质，定理（夹角到角公式）（3）等角（相等或相似）比例线段或斜率（Ⅱ）设l与x轴的交点为)0,(1xD，则2,2121211baSxabFDabSPQFABF.由题设可得221211baxab，所以01x（舍去），11x.设满足条件的AB的中点为),(yxE.当AB与x轴不垂直时，由DEABkk可得)1(12xxyba.而yba2，所以)1(12xxy.当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为12xy.....12分[来2.【转化为等腰三角形处理】【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221xya（a＞1）.（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I）2222211akkak；（II）202e．【解析】（Ⅰ）设直线1ykx被椭圆截得的线段为AP，由22211ykxxya得2222120akxakx，故10x，222221akxak．因此22212222111akAPkxxkak．[来源:学_科_网Z_X_X_K]（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足APAQ．记直线AP，AQ的斜率分别为1k，2k，且1k，20k，12kk．由（Ⅰ）知，2211221211akkAPak，2222222211akkAQak，故22221122222212212111ak