实用标准文案文档数阵图(一)在神奇的数学王国中,有一类非常有趣的数学问题,它变化多端,引人入胜,奇妙无穷。它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连其中,用毕生的精力来研究它的变化,就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。那么,到底什么是数阵呢?我们先观察下面两个图:左上图中有3个大圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了,1~9九个数字被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和,以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,不信你就算算。上面两个图就是数阵图。准确地说,数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图,可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。例1把1~5这五个数分别填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。同学们可能会觉得这道题太容易了,七拼八凑就写出了右上图的答案,可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理,只有弄懂其中的道理,才可能解出复杂巧妙的数阵问题。分析与解:中间方格中的数很特殊,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“重叠数”。也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重叠了一次,其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9,实用标准文案文档重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了,其余各数就好填了(见右上图)。试一试:练习与思考第1题。例2把1~5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等。分析与解:与例1不同之处是已知“重叠数”为5,而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以,必须先求出这个“和”。根据例1的分析知,两条直线上的三个数相加,只有重叠数被加了两遍,其余各数均被加了一遍,所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。因此,两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。在剩下的四个数1,2,3,4中,只有1+4=2+3=5。故有右上图的填法。试一试:练习与思考第2题。例3把1~5这五个数填入右图中的○里,使每条直线上的三个数之和相等。分析与解:例1是知道每条直线上的三数之和,不知道重叠数;例2是知道重叠数,不知道两条直线上的三个数之和;本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道,(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2,所以,每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。因为每条直线上的三数之和是整数,所以重叠数只可能是1,3或5。实用标准文案文档若“重叠数”=1,则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8。填法见左下图;若“重叠数”=3,则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9。填法见下中图;若“重叠数”=5,则两条直线上三数之和为(15+5)÷2=10。填法见右下图。试一试:练习与思考第3题。练习与思考1.将1~7这七个数分别填入左下图中的○里,使每条直线上的三个数之和都等于12。如果每条直线上的三个数之和等于10,那么又该如何填?2.将1~9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好),使每条直线上的三个数之和都相等。如果中心数是5,那么又该如何填?3.将1~9这九个数分别填入右图的小方格里,使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法)实用标准文案文档数阵图(二)由以上几例看出,求出重叠数是解决数阵问题的关键。为了进一步学会掌握这种解题方法,我们再看两例。例4将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10。分析与解:与例1类似,知道每条边上的三数之和,但不知道重叠数。因为有3条边,所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。由此得出重叠数为[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。剩下的六个数中,两两之和等于9的有2,7;3,6;4,5。可得右上图的填法。如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”,其他不变,那么仿照例3,重叠数可能等于几?怎样填?例5将10~20填入左下图的○内,其中15已填好,使得每条边上的三个数字之和都相等。实用标准文案文档解:与例2类似,中间○内的15是重叠数,并且重叠了四次,所以每条边上的三个数字之和等于[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。剩下的十个数中,两两之和等于(45-15=)30的有10,20;11,19;12,18;13,17;14,16。于是得到右上图的填法。例1~5都具有中心数是重叠数,并且每边的数字之和都相等的性质,这样的数阵图称为辐射型。例4的图中有三条边,每边有三个数,称为辐射型3—3图;例5有五条边每边有三个数,称为辐射型5—3图。一般地,有m条边,每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m-n图。辐射型数阵图只有一个重叠数,重叠次数是“直线条数”-1,即m-1。对于辐射型数阵图,有已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数。由此得到:(1)若已知每条直线上各数之和,则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。如例1、例4。(2)若已知重叠数,则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。如例2、例5。(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道,则要从重叠数的可能取值分析讨论,如例3。练习与思考实用标准文案文档4.将3~9这七个数分别填入左下图的○里,使每条直线上的三个数之和等于20。5.将1~11这十一个数分别填入右上图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,并且尽可能大。6.将1~7这七个数分别填入下图的○里,使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。实用标准文案文档答案与提示5.提示:中心数是重叠数,并且重叠4次。所以每条直线上的三数之和等于[(1+2+…+11)+重叠数×4]÷5=(66+重叠数×4)÷5。为使上式能整除,重叠数只能是1,6或11。显然,重叠数越大,每条直线上的三数之和越大。所以重叠数是11,每条直线上的三数之和是22。填法见右图。实用标准文案文档6.解:所有的数都是重叠数,中心数重叠两次,其它数重叠一次。所以三条边及两个圆周上的所有数之和为(1+2+…+7)×2+中心数=56+中心数。因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等,所以这个和应该是5的倍数,再由中心数在1至7之间,所以中心数是4。每条边及每个圆周上的三数之和等于(56+4)÷5=12。中心数确定后,其余的数一下还不好直接确定。我们可以试着先从辐射型3-3图开始。中心数是4,每边其余两数之和是12-4=8,两数之和是8的有1,7;2,6;3,5。于是得到左下图的填法。对于左上图,适当调整每条边上除中心数外的两个数的位置,便得到本题的解(见右上图)。