中考数学专题复习(一)一元二次方程

专题一：一元二次方程知识要点扫描归纳一基本概念1.方程定义：含有未知数的等式叫方程。2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。3.解方程：求方程的解的过程叫做解方程。4.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式为02cbxax（0a）.二、一元二次方程的解法1．直接开方法（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解.2．配方法（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：222)(2bababa（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解.3．公式法（1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法.（2）一元二次方程)0(02acbxax求根公式是：aacbbx242（3）在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定cba,,的值，在042acb的情况下：代入求根公式即可求解.4.因式分解法1．对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。2．理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。例如：如果0)5)(1(xx，那么x－1=0或x＋5=0。因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。3．因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1）将方程的右边化为零；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积；（3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。4．形如002abxax的方程，可用提公因式法求方程的根：0021aabxx，。5．形如022nbxmax)(22ba的方程，可用平方差公式把左边分解。三、一元二次方程根的判别式：一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式acb42：（1）0方程有两个不等实数根．（2）0方程有两个相等实数根．（3）0方程无实数根．（4）0方程有两个实数根．※运用根的判别式时要注意：关于x的方程02cbxax有两个实数根和实数根的区别在于：若有两个实数根，则00a，且．若有实数根，则分两种情况：①00，a；②0a四、一元二次方程根与系数关系（韦达定理）1．若一元二次方程02cbxax0a的两个实数根为21,xx，则acxxabxx2121,2．以21,xx为根的一元二次方程可写成021212xxxxxx3．使用一元二次方程02cbxax0a的根的判别式acb42解题的前提是二次项系数0a4．不解方程，求关于一元二次方程的两个实数根21,xx的对称式的值的方法是先将式子化成只含21xx，21xx的形式，然后利用根与系数的关系代入求值．要特别注意如下公式：（1）2122122212xxxxxx；（2）21212111xxxxxx；（3）212212214xxxxxx；（4）212132132313xxxxxxxx；（5）21221214xxxxxx；（6）21221214xxxxxx；（7）2121221221xxxxxxxx；（8）21212212122xxxxxxxx．五、实际应用：1、知识结构2、知识要点归纳由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.（1）加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁.（2）加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.（3）加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识就可以了.3解一元二次方程的数学应用题的一般步骤（1）找——找出题中的等量关系（2）设——设未知数（3）列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式（4）解——解出所列的方程（5）验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验（6）答——作答下结论4、中考改革趋势一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.考点回放1考察一元二次方程概念1．(年鄂尔多斯)下列方程不是整式方程的是（）A、321xB、07222zxyyxC、21373xxD、172m2．(年湖北随州)下列方程不是一元二次方程的是（）A、01262yyB、mm531212C、043611012ppD、x2+x-1=x23．(年陕西西安)方程013)2(mxxmm是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A、2mB、2mC、m=-2D、2m4．(年武汉)一元二次方程0352xx，把二次项系数变为正数，且使方程的根不变的是（）A、0352xxB、0352xxC、0352xxD、0352xx2考察一元二次方程根的概念1.(江苏苏州)若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=．2．（河北）已知x=1是一元二次方程02nmxx的一个根，则222nmnm的值为．3.（广东珠海）已知x1=-1是方程052mxx的一个根，求m的值及方程的另一根x2。3考察一元二次方程解法1．（四川眉山）一元二次方程2260x的解为___________________．2．（江苏无锡）方程2310xx的解是．3．（年上海）方程x+6=x的根是____________.4．（湖南常德）方程2560xx的两根为()A．6和-1B．-6和1C．-2和-3D．2和35．（云南楚雄）一元二次方程x2－4＝0的解是（）A．x1＝2，x2＝－2B．x＝－2C．x＝2D．x1＝2，x2＝06．（河南）方程230x的根是(A)3x(B)123,3xx(C)3x（D）123,3xx7．（四川内江）方程x(x－1)＝2的解是A．x＝－1B．x＝－2C．x1＝1，x2＝－2D．x1＝－1，x2＝28．(江苏苏州)解方程：221120xxxx．4考察一元二次方程判别式1．（甘肃兰州）已知关于x的一元二次方程01)12xxm（有实数根，则m的取值范围是．2．（江苏连云港）若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为___________．(任意给出一个符合条件的值即可)3．（湖北荆门）如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是4．（江苏苏州）下列四个说法中，正确的是A．一元二次方程22452xx有实数根；B．一元二次方程23452xx有实数根；C．一元二次方程25453xx有实数根；D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根．5．（安徽芜湖）关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠56．（10湖南益阳）一元二次方程)0(02acbxax有两个不相等的实数根，则acb42满足（）Ａ．acb42＝0Ｂ．acb42＞0Ｃ．acb42＜0Ｄ．acb42≥07．（年上海）已知一元二次方程x2+x─1=0，下列判断正确的是（）A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定8．（山东潍坊）关于x的一元二次方程x2－6x＋2k＝0有两不等实根，则实数k的取值范围是（）．A．k≤92B．k＜92C．k≥92D．k＞929．（四川攀枝花）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1=0B．9x2—6x+1=0C．x2—ｘ＋２＝０D．x2－２ｘ－２＝０10．（北京）已知关于x的一元二次方程x²-4x+m-1=0有两个相等实数根，求的m值及方程的根．11．（广东中山）已知一元二次方程022mxx．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为1x，2x，且1x+32x=3，求m的值。12．（四川成都）若关于x的一元二次方程2420xxk有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值.13．（年贵州毕节）已知关于x的一元二次方程22(21)0xmxm有两个实数根1x和2x．（1）求实数m的取值范围；（2）当22120xx时，求m的值．14．（四川南充）关于x的一元二次方程230xxk有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．15．（广东广州，19，10分）已知关于x的一元二次方程)0(012abxax有两个相等的实数根，求4)2(222baab的值。16．（广西玉林、防城港）（6分）当实数k为何值时，关于x的方程x2－4x＋3－k＝0有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根。5考察一元二次方程根与系数关系1．（安徽芜湖）已知x1、x2为方程x2＋3x＋1＝0的两实根，则x13＋8x2＋20＝__________．2．（四川成都）设1x，2x是一元二次方程2320xx的两个实数根，则2211223xxxx的值为__________________．3．（湖北鄂州）已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）=．4．（江苏南通）设x1、x2是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，2x1(x22+5x2－3)+a=2，则a=．5．（山东烟台）方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x1-1）=_________。6．（四川泸州）已知一元二次方程231310xx的两根为1x、2x,则1211xx_____________.7．（云南玉溪）一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2等于A.5B.6C.-5D.-68．（湖南娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=－ba，x1x2=ca根据上述材料填空：已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则1x1+1x2=_________.9．（广西百色）方程xx22-1的两根之和等于.10．（山东日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（A）－3，2（B）3，-2（C）2，－3（D）2，311．(四川眉山）已知方程2520xx的两个解分别为1x、2x，则1212xxxx的值为A．7B．3C．7D．312．（嵊州市）已知nm,是方程0122xx的两根，且8)763)(147(22nnamm，则a的值等于（）A．－5B.5C.-9D.913．（四川乐山）：若关于x的一元二次方程012)2(222kxkx有实数根、．（1）求实数k的取值范围；（2）设kt，求t的最小值．14．（四川绵阳）已知关于x的一元二次方程x2=2（1－m）x－m2的两实数根为x1，x2．（1）求m