高中数学专题训练(二)——三角函数

1高中数学专题训练（二）——三角函数1.右图为)sin(xAy的图象的一段，求其解析式。2设函数)(),0()2sin()(xfyxxf图像的一条对称轴是直线8x。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数)(xfy的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(xfy在区间],0[上的图像。3.已知函数)cos(sinlog)(21xxxf，（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。24.已知向量a=(3，2)，b=()cos,2sin2xx，（)0。（1）若()fxab，且)(xf的最小正周期为，求)(xf的最大值，并求)(xf取得最大值时x的集合；（2）在（1）的条件下，)(xf沿向量c平移可得到函数,2sin2xy求向量c。5.设函数xcxbaxfsincos)(的图象经过两点（0，1），（1,2），且在2|)(|20xfx内，求实数a的的取值范围.6.若函数)4sin(sin)2sin(22cos1)(2xaxxxxf的最大值为32，试确定常数a的值.7.已知二次函数)(xf对任意Rx，都有)1()1(xfxf成立，设向量a（sinx，2），b（2sinx，21），c（cos2x，1），d（1，2），当x[0，π]时，求不等式f（ab）＞f（cd）的解集．38.试判断方程sinx=100x实数解的个数.9.已知定义在区间]32,[上的函数)(xfy的图象关于直线6x对称，当]32,6[x时，函数)22,0,0()sin()(AxAxf，其图象如图.（1）求函数)(xfy在]32,[的表达式；（2）求方程2()2fx的解.410.已知函数)2||,0,0A)(xsin(A)x(f的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为)2,(0x和)2,3(0x.(1)试求)x(f的解析式；(2)将)x(fy图象上所有点的横坐标缩短到原来的31（纵坐标不变），然后再将新的图象向x轴正方向平移3个单位，得到函数)x(gy的图象.写出函数)x(gy的解析式.11.已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf（Ⅰ）将f(x)写成)sin(xA的形式，并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.12.)33sin(32)(xxf（ω＞0）（1）若f(x+θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值（2）f(x)在（0，3）上是增函数，求ω最大值。513.已知),2sin,2cos23(),2cos23,2(cosxxxxba且a∥b.求)2sin()42cos(21xx的值.14.已知△ABC三内角A、B、C所对的边a，b，c，且.2222222caccbabca（1）求∠B的大小；（2）若△ABC的面积为433，求b取最小值时的三角形形状.15.求函数y=)32cot()32sin(xx的值域.616.求函数y=1sectan1sectanxxxx的单调区间.17.已知ctgxxxxf112cos2sin)(①化简f(x);②若53)4sin(x，且434x，求f(x)的值；18.已知ΔABC的三个内角A、B、C成等差数列，且ABC，tgA·tgC32,①求角A、B、C的大小；②如果BC边的长等于34，求ΔABC的边AC的长及三角形的面积.719.已知21)(),,2(,53sintg，求tg(-2).20.已知函数xxxxfcossinsin3)(2（I）求函数)(xf的最小正周期；（II）求函数2,0)(xxf在的值域.21.已知向量a＝(cos23x，sin23x)，b＝(2sin2cosxx，)，且x∈[0，2]．（1）求ba（2）设函数baxf)(+ba，求函数)(xf的最值及相应的x的值。822.已知函数2()sin3sinsin()(0)2fxxxx的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，23]上的取值范围.23.在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且10103cos,21tanBA（1）求tanC的值;（2）若⊿ABC最长的边为1，求b。24.如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。925.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cabCB2coscos。（1）求角B的大小；（2）若4,13cab，求a的值。10答案：1.解析法1以M为第一个零点，则A=3，2所求解析式为)2sin(3xy点M（)0,3在图象上，由此求得32所求解析式为)322sin(3xy法2.由题意A=3，2，则3sin(2)yx图像过点7(,3)12733sin()6733sin()6即72.62k22.3k取2.3所求解析式为23sin(2)3yx2.解析（Ⅰ）)(8xfyx是函数的图像的对称轴，,1)82sin(,.42kkZ.43,0（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43xy因此由题意得.,2243222Zkkxk所以函数.],85,8[)432sin(Zkkkxy的单调增区间为（Ⅲ）由知)432sin(xyx08838587y22－101022故函数上图像是在区间],0[)(xfy113.解析（1）由题意得sinx-cosx＞0即0)4sin(2x，从而得kxk242，∴函数的定义域为），（45242kkZk，∵1)4sin(0x，故0＜sinx-cosx≤2，所有函数f(x)的值域是),21[。（2）单调递增区间是），452432[kkZk单调递减区间是），（43242kkZk，（3）因为f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。（4）∵)()]2cos()2[sin(log)2(21xfxxxf∴函数f(x)的最小正周期T=2π。4.解析()fxab=1)62sin(2cos22sin32xxx，T=，1)(xf=1)62sin(2x，1maxy，这时x的集合为Zkkxx,3（2）)(xf的图象向左平移12，再向上平移1个单位可得xy2sin2的图象，所以向量c=)1,12(。5.解析由图象过两点得1=a+b，1=a+c，)4sin()1(2)cos)(sin1()(,1,1xaaxxaaxfacab1)4sin(22,4344,20xxx则当a＜1时，2|)(|,)21(2)(1xfaxf要使，只须2)21(2a解得2a当1)()21(2,1xfaa时要使2)21(22|)(|axf只须解得234a，故所求a的范围是2342a6.解析)4sin(sin)2sin(21cos21)(22xaxxxxf)4sin(cossin)4sin(sincos2cos2222xaxxxaxxx12)4sin()2()4sin()4sin(222xaxax因为)(xf的最大值为)4sin(,32x的最大值为1，则,3222a所以3a7.解析设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，1y）、B（1＋x，2y）因为12)1()1(xx，)1()1(xfxf，所以21yy，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．∵(sinxab，xsin2()2，11sin2)212x，(cos2xcd，1()1，)2122cosx，∴当0m时，2()()(2sin1)(cos21)fffxfxabcd1sin22x02cos222cos12cos122cosxxxx02cosx2ππ2k23ππ22kx，Zk．∵π0x，∴4π34πx．当0m时，同理可得4π0x或π4π3x．综上()()ffabcd的解集是当0m时，为}4π34π|{xx；当0m时，为4π0|{xx，或}π4π3x．8.解析方程sinx=100x实数解的个数等于函数y=sinx与y=100x的图象交点个数∵|sinx|≤1∴|100x|≤1,|x|≤100л当x≥0时，如右图，此时两线共有100个交点，因y=sinx与y=100x都是奇函数，由对称性知当x≥0时，也有100个交点，原点是重复计数的所以只有199个交点。9.解析（1）当2[,]63x时，函数()sin()(0,0,)22fxAxA，观察图象易得：1,1,3A，即函数()sin()3fxx，由函数()yfx的图象关于直线6x对称得，[,]6x时，函数()sinfxx.100л13∴2sin()[,]363()sin[,)6xxfxxx.（2）当2[,]63x时，由2sin()32x得，353441212xxx或或；当[,]6x时，由2sin2x得，344xx或.∴方程2()2fx的解集为35{,,,}44121210.解析（1）由题意可得：6T，2A，)31sin(2)(xxf，函数图像过（0，1），21sin，2，6，)63sin(2)(xxf；（2）)6sin(2)(xxg11.解析(1)23)332sin(2332cos2332sin21)32cos1(2332sin21)(xxxxxxf由)332sin(x=0即zkkxzkkx213)(332得即对称中心的横坐标为zkk，213（Ⅱ）由已知b2=ac，2222221cos2222acbacacacacxacacac，125cos1023333952||||sinsin()13292333233sin()1332xxxxx，，，，，即)(xf的值域为]231,3(.12.解析（1）因为f(x+θ)=)333sin(32x又f(x+θ)是周期为2π的偶函数，故kk6,31Z（2）因为f(x)在（0，3）上是增函数，故ω最大值为611413.由a∥b得，,02cos2sin2cos432xxx即,21cossin,0sin212cos143xxxxxxxxxcos)4sin2sin4cos2(cos21)2sin()42cos(21.1)cos(sin