高中数学专题训练(七)——轨迹问题

1高中数学专题训练——轨迹问题1.已知平面//平面，直线l，点lP，平面、间的距离为4，则在内到点P的距离为5且到直线l的距离为29的点的轨迹是（）A.一个圆B.两条平行直线C.四个点D.两个点2在四棱锥ABCDP中，AD面PAB，BC面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPBAPD，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A.圆B.不完整的圆C.抛物线D.抛物线的一部分3.如图,定点A和B都在平面内，定点P,PB,C是内异于A和B的动点。且ACPC，那么动点C在平面内的轨迹是（）A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点4.如图3，在正方体1111DCBAABCD中，P是侧面1BC内一动点，若P到直线BC与直线11DC的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线图325.已知正方体1111DCBAABCD的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线11DA的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.直线6.已知异面直线a,b成60角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a,b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程。7.已知圆E的方程为(x-1)2+y2=1,四边形PABQ为该圆的内接梯形，底AB为圆的直径且在x轴上，以A、B为焦点的椭圆C过P、Q两点．(1)若直线QP与椭圆C的右准线相交于点M，求点M的轨迹；(2)当梯形PABQ周长最大时，求椭圆C的方程．38.已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，其中F1又是抛物线y2=4x的一个焦点，且点A(-1,2)，B(3,2)在双曲线上．(1)求点F2的轨迹;(2)是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．9.已知常数a0，c=(0,a)，i=(1,0)，经过原点O，以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a)，以i-2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E,F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出E,F的坐标，若不存在，说明理由．410.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点(20)M，，AB边所在直线的方程为360xy点(11)T，在AD边所在直线上．（I）求AD边所在直线的方程；（II）求矩形ABCD外接圆的方程；（III）若动圆P过点(20)N，，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．DTNOABCMxy511.如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.xyOABPFl612.已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022TFTFPT（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明xacaPF||1；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=.2b若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.713.过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点.求△AOB的重心G的轨迹C的方程.14.已知圆22:1Cxy和点(2,0)Q，动点M到圆C的切线长与||MQ的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？15.如图，圆1O与圆2O的半径都是1，421OO，过动点P分别作圆1O、圆2O的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PNPM2．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．816.已知椭圆C：xy221691和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程。17.已知棱长为3的正方体ABCDABCD1111中，长为2的线段MN的一个端点在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积。18.（经典问题，值得一做，很能训练学生的思维能力）三峡工程需修建一个土石基坑，基坑成矩形ABCD，按规定，挖出的土方必须沿道路PA或PB送到P点处。已知mABmBCmPBmPA160,60,150,100，能否在池中确定一条界线，使得位于界线一侧的点沿道路PA送土方较近，而另一侧的点沿道路PB送土方较近？如果能，请说明这条界线是什么曲线，并求出轨迹方程。919.设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线20.某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？10答案：1.如图1，设点P在平面内的射影是O，则OP是、的公垂线，OP=4。在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O为圆心，3为半径的圆上。又在内到直线l的距离等于29的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于32174)29(22，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点，故选C。2.因为AD面PAB，BC面PAB，所以AD//BC，且90CBPDAP。又8BC,4AD,CPBAPD，可得CPBtanPBCBPAADAPDtan，即得2ADCBPAPB在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（-3，0）、B（3，0）。设点P（x,y），则有2y)3x(y)3x(|PA||PB|2222，整理得09x10yx22由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B。3.因为PCAC，且PC在内的射影为BC，所以BCAC，即90ACB。所以点C的轨迹是以AB为直径的圆且去掉A、B两点，故选B。4.因为P到11DC的距离即为P到1C的距离，所以在面1BC内，P到定点1C的距离与P到定直线BC的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点P的轨迹为抛物线，故选D。115.以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系。设P（x,y），作ADPE于E、11DAPF于F，连结EF，易知1x|EF||PE||PF|2222又作CDPN于N，则|1y||PN|。依题意|PN||PF|，即|1y|1x2，化简得0y2yx22故动点P的轨迹为双曲线，选B。6.如图，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面上，直线'a、'b为平面内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，'a'AA于'A，'b'BB于'B，则P'B'AAB，且P也为'B'A的中点。由已知MN=2，AB=4，易知,2AP,1'AA得32'B'A。则问题转化为求长等于32的线段'B'A的两个端点'A、'B分别在'a、'b上移动时其中点P的轨迹。现以'OB'A的角平分线为x轴，O为原点建立如图所示的平面直角坐标系。设)y,x(P，n|'OB|,m|'OA|，则)n21,n23('B),m21,m23('A12)nm(41y),nm(43x222)32()nm(41)nm(43消去m、n，得线段AB的中点P的轨迹为椭圆，其方程为1y9x22。7.解(1)设椭圆C：b2(x-1)2+a2y2=a2b2(ab0)，由题意知2c=2,故c=1,如图9-9，从而可得右准线的方程x=a2+1,……………………………………………………………①设M(x,y)，P(x0,y0)，连PB，则有|PA|2+|PB|2=|AB|2,∴(|PA|+|PB|)2-2|PA|·|PB|=4，由此可得(2a)2-2·2|yP|=4，即yP=±(a2-1)，………………②于是，由①②得y=±(x-2)．又∵点P(x0,y0)是圆E上的点，且不与AB重合，∴0|y0|1，故有0a2-11,即1a22……………………………………………………………③由①③得2x3，∴点M的轨迹是两条线段，其方程为y=±(x-2)(2x3)．(2)设∠ABQ=θ，∵点Q在P点左侧，∴θ∈(45o,90o)，又|AB|=2,于是，由图9-9可得|PA|=|BQ|=2cosθ,|PQ|=|AB|-2|BQ|cosθ=2-4cos2θ,∴周长L=(2-4cos2θ)+4cosθ+25)21(cos42．当6021cos即，时，周长L取最大值5．此时|BQ|=1,|AQ|=3，2a=|BQ|+|AQ|=1+3,∴232)231(22a,23122ab，故所求椭圆的方程为123232)1(22yx．8.解(1)由题意知F1(1,0)，设F2(x,y)，则||AF1|-|AF2||=||BF1|-|BF2||=2a0．……………………………①∵A(-1,2)，B(3,2)在已知双曲线上，且|AF1|=|BF1|=22．于是(ⅰ)当|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|时，有|AF2|=|BF2|,再代入①得：F2的轨迹为直线x=1除去两个点F1(1,0),D(1,4)．(ⅱ)∵当|AF1|-|AF2|=-(|BF1|-|BF2|)时，有|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|=244=|AB|,∴点F2的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆Q，且除去F1(1,0)，D(1,4)两点，图9-9yxAPQBO13故所求的轨迹方程为l：x=1与Q：14)2(8)1(22yx(y≠0，y≠4)．(2)设存在直线L：y=x+m满足条件．(ⅰ)若L过点F1或点D，∵F1、D两点既在直线l：x=1上，又在椭圆Q上，但不在F2的轨迹上，∴L与F2的轨迹只有一个公共点，不合题意．(ⅱ))若L不过点F1和D两点，(m≠-1,m≠3)，则L与l必有一个公共点E，且E点不在椭圆Q上，∴要使L与F2的轨迹有且只有两个公共点，则L必与Q有且只有一个公共点．由,14)2(8)1(,22yxmxy得3x2-(10-4m)x+2m2-8m+1=0,从而，有△=(10-4m)2-12(2m2-8m+1)=-8(m2-2m-11),当△=0时，有321m．即存在符合条件的直线y=x+321．9.解∵c+λi=(λ,a)，i-2λc=(1,-2λa),由向量平行关系得OP与AP的方程分别为λy=ax，y-a=-2λax．……………………………………①由此消去参数λ，得点P(x,y)满足方程为1)2()2(81222aayx,……………………………………………②∵a0,从而，有(1)当22a时，方程②表示的是圆，不存在符合题意的两个定点E，F；(2)当022a时，方程②表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：)2,2121(),2,2121(22aaFaaE；(3)当22a时，方程②表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：))21(21,0(,))21(21,0(22aaFaaE．10.解：（I）因为AB边所在直线的方程为360xy，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3．又因为点(11)T，在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为13(1)yx即320xy．14（II）由36032=0xyxy