高中数学专题训练(八)——立体几何中求角与距离

1高中数学专题训练——立体几何中求角与距离1.四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°2ABCDA1EB1C12如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=23，D为AB的中点.（1）求证：AB1⊥平面CED；（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1—AC—B的平面角.33.已知a—l—是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB=.900（I）求三棱锥D—ABC的体积；（2）求二面角D—AC—B的大小；（3）求异面直线AB、CD所成的角.44.已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．（1）求证：AP⊥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比．55.如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.（1）求证：FD∥平面ABC；（2）求证：AF⊥BD；(3)求二面角B—FC—G的正切值.67.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.(1)求证PQ∥平面CDD1C1；(2)求证PQ⊥AD；(3)求线段PQ的长.7ABCDEA1B1C1D1xyz图48.如图4，在长方体ABCD1111ABCD中，AD=1AA=1，AB=2，点E在棱AB上移动。（Ⅰ）证明：11DEAD；（Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面1ACD的距离；（Ⅲ）AE等于何值时，二面角1DECD的大小为4。89.如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。（1）求证：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小。10．如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论ABC1A1B1CED911.如图，在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且∠ADCarcsin55，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求点A到平面PBC的距离。PBCAD1012.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG.（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.1113.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，PDDAB,60平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值1214.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.·B1PACDA1C1D1BOH·1315.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。(I)证明平面；(II)证明平面EFD；(III)求二面角的大小。1416.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.1517.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点。点P到直线AD1的距离为223⑴求证：AC∥平面BPQ⑵求二面角B-PQ-D的大小ABCDABCDPQ11111618.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；ABDCA1D1C1B1EFO1H1719.图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求MN和PQ所成角的大小；（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角M—NQ—P的大小。1820.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。19答案：1.（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面,其面积为,2a从而只要算出四棱锥的高就行了.PB面ABCD,∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，∴PA⊥DA，∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，∠PAB=60°.而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=3a,3233331aaaV锥.（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，CEACEDCEAE故,90,是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，.22aADAEOAa在.0)2)(2(2)2(cos,2222AEOAAEOAAEECAEOAECAEAECAEC中故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.2.（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.20∴CD⊥平面A1B1BA∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1，∴AB1⊥平面CDE；（2）由CD⊥平面A1B1BA∴CD⊥DE∵AB1⊥平面CDE∴DE⊥AB1∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段∵CE=23，AC=1,∴CD=.22∴21)()(22CDCEDE；（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC,∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.在Rt△CEA中，CE=23，BC=AC=1,∴∠B1AC=600∴260cos121AB，∴2)()(2211ABABBB,∴211BCBBCBBtg,∴21arctgCBB.3.(1)过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.DAEOAABDAOAADAB,,上的射影在平面为为二面角a—l—的平面角..60,120DAODAE3,2DOABAD.ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2.,1ABCS又D到平面的距离DO=.3.33ABCDV21（2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO为二面角D—AC—B的平面角.又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且.22,45OMCAEOAM.6.6arctgDMODMOtg（3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角.ACFCAFDFCFAFCFAFAB即又,45,,为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高,.1CFAF.7.7.7120cos2222DCFtgCFDFDCFtgAFADAFADDF异面直线AB,CD所成的角为arctg.74.设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为xa32,)32)(32(3434143)320()32(43)(2xaxaxaxxaxxV54)3323234(16133axaxax.当且仅当.54,183,32343maxaVaxxax时即.故当容器的高为a183时，容器的容积最大，其最大容积为.543a5.(1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．22由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF.BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则h1∶h2=EP∶AP=2∶3,.31232313121PBCPBFPBCAPBFEABCPEBFPShShVVVV故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶16.∵F、G分别为EB、AB的中点，∴FG=21EA，又EA、DC都垂直于面ABC,FG=DC，∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，∴FD∥面ABC.（2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB①又FG∥EA，EA⊥面ABC∴FG⊥面ABC∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC.∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD②由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.（3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC.∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.易求33223,23aaGHBtgaGH.7.（1）在平面AD1内，作PP1∥AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作23QQ1∥BC交CD于点Q1，连结P1Q1.∵1251QBDQPAPD,∴PP1//QQ1.由四边形PQQ1P1为平行四边形,知PQ∥P1Q1而P1Q1平面CDD1C1，所以PQ∥平面CDD1C1（2）AD⊥平面D1DCC1，∴AD⊥P1Q1，又∵PQ∥P1Q1，∴AD⊥PQ.（3）由（1）知P1Q1//PQ,125QBDQCQDQ11，而棱长CD=1.∴DQ1=175.同理可求得P1D=1712.在Rt△P1DQ1中，应用勾股定理,立得P1Q1=1713175171222221DQDP.8.解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AEa，则1(1,0,1)A，1(0,0,1)D，(1,,0)Ea，(1,0,0)A，(0,2,0)C。（Ⅰ）证明：由1(1,0,1)DA，1(1,1,1)DEa，11(1,0,1)(1,1,1)110DADEa，有11DADE，于是11DEAD。（Ⅱ）E是AB的中点，得(1,1,0)E。1(1,1,1)DE，(1,2,0)AC，1(1,0,1)AD。设平面1ACD的法向量为(,,1)nxy，单位法向量为0n，由100nACnAD