初二数学课件

全等三角形2（一）基础知识1、证明两个三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。3、角平分线的判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上。因此，角平分线可以看作是角的内部到角两边的距离相等的点的集合。∵OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．∴PD=PE．OBPAED∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE．∴OC平分∠AOB．4、图形变换一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。5、常见基本图形例1、如图，AC平分∠BAD，CF⊥AD，CE⊥AB，CD=CB，求证：BE=DF．ABCDEF例1、如图，AC平分∠BAD，CF⊥AD，CE⊥AB，CD=CB，求证：BE=DF．ABCDEF[分析]要证BE=DF，只需证△CBE≌△CDF．而CD=CB，∠CEB=∠CFD=90°，只需证CE=CF，这可由角平分线的性质得到．例1、如图，AC平分∠BAD，CF⊥AD，CE⊥AB，CD=CB，求证：BE=DF．ABCDEF证明：∵AC平分∠BAD，CF⊥AD，CE⊥AB，∴CE=CF，∠CEB=∠CFD=90°．∵在Rt△CBE和Rt△CDF中，∴Rt△CBE≌Rt△CDF．∴BE=DF．CE=CFCD=CB例2、已知，如图，OD平分∠AOB，在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PM⊥BD，PN⊥AD，求证：PM=PN．ABOPDMN例2、已知，如图，OD平分∠AOB，在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PM⊥BD，PN⊥AD，求证：PM=PN．[分析]由于PM、PN是点P到∠ADB的两边的距离，所以只需证OD平分∠ADB，这可通过证明△OBD≌OAD得到．ABOPDMN例2、已知，如图，OD平分∠AOB，在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PM⊥BD，PN⊥AD，求证：PM=PN．ABOPDMN1234,12.12.ODAOBOBDOADOBOAODODOBDOAD证明：平分在和中，≌34.,,.PMBDPNADPMPN例3、如图，△ABC中，点P是角平分线AD、BE的交点，求证：点P在∠C的平分线上．ABCDEP例3、如图，△ABC中，点P是角平分线AD、BE的交点，求证：点P在∠C的平分线上．ABCDEPMNO[分析]过点P作PO⊥BC于O，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，要证点P在∠C的平分线上，只需证PO=PN．而由已知可知，PM=PN，PM=PO，得证．例3、如图，△ABC中，点P是角平分线AD、BE的交点，求证：点P在∠C的平分线上．ABCDEPMNO证明：过点P作PO⊥BC于O，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N．∵点P是角平分线AD、BE的交点，∴PM=PN，PM=PO．∴PN=PO．∵PO⊥BC，PN⊥AC，∴点P在∠C的平分线上．[小结]三角形三个内角的平分线交于一点，且该点到三角形三边的距离相等．[小结]三角形三个内角的平分线交于一点，且该点到三角形三边的距离相等．[发展]1、如图，点P是△ABC的两个外角的平分线的交点，则点P到△ABC三边所在直线的距离相等，且点P在∠B的平分线上．ABCP[小结]三角形三个内角的平分线交于一点，且该点到三角形三边的距离相等．[发展]1、如图，点P是△ABC的两个外角的平分线的交点，则点P到△ABC三边所在直线的距离相等，且点P在∠B的平分线上．2、到三角形三边距离相等的点有4个。（在三角形内部，只有一个；在三角形外部，有3个）ABCP例4、△ABC的三边AB、BC、AC的长度分别为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O，求．::ABOBCOACOSSSABCO例4、△ABC的三边AB、BC、AC的长度分别为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O，求．::ABOBCOACOSSSABCODEF[分析]过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F．由已知易证OD=OE=OF，由此可知::::.ABOBCOACOSSSABBCAC例4、△ABC的三边AB、BC、AC的长度分别为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O，求．::ABOBCOACOSSSABCODEF解：过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F．∵△ABC三个内角的平分线的交点为O，∴OD=OE=OF．111,,,222::::2:3:4.ABOBCOACOABOBCOACOSABODSBCOFSACOESSSABBCAC（二）常见辅助线的添加方法例5、在△ABC中，AD是BC边上的中线，（1）求证：AB＋AC2AD.（2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是．ABCD（二）常见辅助线的添加方法例5、在△ABC中，AD是BC边上的中线，（1）求证：AB＋AC2AD.（2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是．ABCDE[分析]（1）延长AD到E，使得DE=AD易证△ACD≌△EBD（SAS）从而BE=AC∵在△ABE中，AB+BEAE∴AB+AC2AD.（2）易知2AD8（二）常见辅助线的添加方法例5、在△ABC中，AD是BC边上的中线，（1）求证：AB＋AC2AD.（2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是．ABCDE[分析]（1）延长AD到E，使得DE=AD易证△ACD≌△EBD（SAS）从而BE=AC∵在△ABE中，AB+BEAE∴AB+AC2AD.（2）易知2AD8倍长中线例6、已知：如图，AB＝AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且EF交BC于点D,D为EF的中点.求证：BE＝CF.ABCDEF例6、已知：如图，AB＝AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且EF交BC于点D,D为EF的中点.求证：BE＝CF.[分析]过E作EM//AC，交BC于M.易证△CDF≌△MDE（AAS）从而得到ME=CF.要证BE=CF，只需证BE=ME.这就需要证明∠B=∠3∵∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°∠2=∠4∴∠1=∠3∵∠B=∠1∴∠B=∠3ABCDEFM3412例7、如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，ABAD，试判断AB-AD与CB-CD的大小关系，并证明你的结论．ABCD例7、如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，ABAD，试判断AB-AD与CB-CD的大小关系，并证明你的结论．[分析]在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．易证△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BECB-CE，即AB-AECB-CE，∴AB-ADCB-CD．ABCDE12例8、如图，∠1=∠2，P为BN上一点，若∠PCB+∠BAP=180°，求证：PA=PC．ABCP12例8、如图，∠1=∠2，P为BN上一点，若∠PCB+∠BAP=180°，求证：PA=PC．[分析1]由已知∠1=∠2，可以构造全等三角形，在BC上取一点D，使得BD=AB，连结PD，易证△ABP≌△DBP，从而得到PA=PD．要证PA=PC，只需证PC=PD，这可以通过证明∠PCB=∠PDC得到．ABCP12D例8、如图，∠1=∠2，P为BN上一点，若∠PCB+∠BAP=180°，求证：PA=PC．证法1：在BC上取一点D，使得BD=AB．连结PD∵在△ABP和△DBP中，∴△ABP≌△DBP．∴PA=PD，∠BAP=∠BDP．∵∠PCB+∠BAP=180°，∠PDC+∠BDP=180°，∴∠PCB=∠PDC．∴PD=PC∴PA=PC．ABCP12D12ABBDPBPB例8、如图，∠1=∠2，P为BN上一点，若∠PCB+∠BAP=180°，求证：PA=PC．[分析2]过点P作PE⊥AB于E，PD⊥BC于D，可知PE=PD，易证△PAE≌PCD，从而得到PA=PC．ABCP12DE例8、如图，∠1=∠2，P为BN上一点，若∠PCB+∠BAP=180°，求证：PA=PC．证明：过点P作PE⊥AB于E，PD⊥BC于D．∴∠PEA=∠PDC=90°．∵∠1=∠2，∴PE=PD．∵∠PCB+∠BAP=180°，∠PAE+∠BAP=180°，∴∠PCB=∠PAE．∵在△PAE和△PCD中，∴△PAE≌△PCD．∴PA=PC．ABCP12DEPAEPCBPEAPDCPEPD[小结]上述两种方法是与角平分线有关的问题中常见的两种添加辅助线的方法，即构造全等三角形或作角两边的垂线．