人教A版高中数学必修五课件2-5-1等比数列的前n项和79张.pptx

空白演示在此输入您的封面副标题成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修5第二章数列2．5等比数列前n项和第二章第二章第1课时等比数列前n项和课程目标解读1．探索导出等比数列前n项和的公式，掌握推导方法．2．掌握等比数列前n项和的性质．3．灵活应用等比数列前n项和的公式及其性质解决一些实际问题．课前自主预习1．我们已学过等差数列前n项和的公式，下面我们探索等比数列前n项和的公式．设等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.由等比数列的定义和通项公式知，每一项可以写成an＝a1qn－1且an＋1＝anq.于是我们可以从不同角度入手进行推导．方法1：由等比数列的通项公式可将Sn写成Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①①式两边同乘以q得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝，由此得q≠1时，Sn＝，∵an＝a1qn－1，所以上式可化为Sn＝，当q＝1时，Sn＝.a1－a1qna11－qn1－qa1－anq1－qna1方法2：由等比数列的定义知a2a1＝a3a2＝…＝anan－1＝q.当q≠1时，由等比定理知＝q，即Sn－a1Sn－an＝q.故Sn＝a1－anq1－q＝a11－qn1－q.当q＝1时，Sn＝na1.a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1方法3：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－2)＝a1＋q＝a1＋q(Sn－)．当q≠1时，Sn＝a1－anq1－q＝a11－qn1－q.当q＝1时，Sn＝na1.于是我们推得公比为q的等比数列{an}前n项和公式．Sn－1an(1)q＝1时，Sn＝；(2)q≠1时，Sn＝＝.2．在等比数列前n项和公式五个量，a1，q，n，an，Sn中，已知任意三个可求其余两个．na1a11－qn1－qa1－qan1－q3．探究等比数列前n项和的性质：(1)数列{an}为等比数列，Sn为{an}的前n项和，探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，……能否构成等比数列．(2)若数列{an}前n项和为Sn＝an－1(a≠0且a≠1)，探索{an}是否为等比数列．(3)在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和，试探索S偶与S奇的关系．(4)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋解答：(1)能构成等比数列．证明如下：设首项为a1，公比为q.qn·Sm若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，显然满足上式；若q≠1，则Sn＝a11－qn1－q，S2n＝a11－q2n1－q，S3n＝a11－q3n1－q.则S2n－Sn＝a11－q(qn－q2n)＝a1qn1－q(1－qn)．S3n－S2n＝a11－q(q2n－q3n)＝a1q2n1－q(1－qn)．∴(S2n－Sn)2＝a21q2n1－q2(1－qn)2，Sn·(S3n－S2n)＝a11－qn1－q·a1q2n1－q(1－qn)＝a21q2n1－q2(1－qn)2.即(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)．(2){an}是等比数列．∵Sn＝an－1，∴a1＝S1＝a－1，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)＝an－1(a－1)，∵a≠0且a≠1.∴a1＝a－1也满足此式．∴an＝(a－1)·an－1∴an＋1an＝a－1·ana－1·an－1＝a，∵a是不等于0的常数，∴{an}为等比数列．(3)S偶S奇＝q.∵{an}为等比数列，共有2n项．∴S偶S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2na1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝qa1＋a3＋…＋a2n－1a1＋a3＋…＋a2n－1＝q.(4)Sm＋n＝Sn＋qn·Sm.设首项为a1，若q≠1，则Sm＋n＝a11－qm＋n1－q，Sn＝a11－qn1－q，Sm＝a11－qm1－q，∴Sn＋qn·Sm＝a11－qn1－q＋a1qn1－qm1－q＝a11－q(1－qn＋qn－qm＋n)＝a11－q(1－qm＋n)＝Sm＋n.若q＝1，显然成立．重点难点展示重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决实际问题．难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用．学习要点点拨1．公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论．不能忽略q＝1的情况．很多情况下，会因为忽略对q＝1的讨论致误．如：求和1＋a＋a2＋…＋an.2．注意一个数列从第二项往后成等差(比)数列和从第一项开始成等差(比)数列的区别．3．错位相减法适用于下面的数列求和情况：{bn}是等差数列，{cn}是公比为q(q≠1)的等比数列，an＝bn×cn则数列{an}求和时，用错位相减法(即Sn－qSn)，证明如下：Sn＝b1c1＋b2c2＋b3c3＋…＋bncnqSn＝b1c2＋b2c3＋b3c4＋…＋bncn＋1Sn－qSn＝b1c1＋(b2－b1)c2＋(b3－b2)c3＋…＋(bn－bn－1)cn－bncn＋1＝b1c1＋d(c2＋c3＋…＋cn)－bncn＋1∵{cn}为等比数列，故c2＋c3＋…＋cn与cn＋1均可求，又{bn}是等差数列，∴bn可求，从而可得Sn.思路方法技巧命题方向等比数列求和公式[例1](2010·天津理，6)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158[答案]C[分析]欲求数列{1an}的前5项的和，因为a1＝1，{an}是等比数列，故需求出其公比q，由9S3＝S6结合求和公式即可求得q.[解析]由题知q3＝S6－S3S3＝8，则q＝2，∴数列1an是公比为12，首项为1的等比数列，∴其前5项和T5＝1×1－1251－12＝3116，故选C.在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝22，则a1的值等于()A．－2B．－1C．1D．2[答案]D[解析]∵S5＝22，q＝－2，∴a1[1－－25]1－－2＝22，∴a1＝2.命题方向等比数列前n项和的性质[例2]已知等比数列{an}中，S10＝10，S20＝30，求S30.[分析]S20＝S10＋a11＋a12＋…＋a20＝S10＋q10(a1＋a2＋…＋a10)＝S10＋q10S10，同理S30＝S20＋q10S20，∴S10，S20－S10，S30－S20成等比，由此可求得S30.[解析]∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，又S10＝10，S20＝30，∴(30－10)2＝10(S30－30)，解得S30＝70.已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项和为85，偶数项和为170，则这个数列的公比为________，项数为________．[答案]2,8[解析]设该等比数列的公比为q，项数为2n，则有S偶＝qS奇⇒q＝17085＝2，又S2n＝S偶＋S奇⇒a11－q2n1－q＝85＋170，∴22n－1＝255，∴2n＝8.故这个数列的公比为2，项数为8.建模应用引路命题方向等比数列的实际应用[例3]据有关资料，2004年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占用土地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨废旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门2005年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)2010年回收废旧物资多少吨？(2)从2005年到2010年可节约开采矿石多少吨？(精确到万吨)(3)从2005年至2010年可节约多少平方公里土地？[解析]设an表示第n年(2005年为第1年)的废旧物资回收量，Sn表示前n年废旧物资回收总量，则数列{an}是以10为首项，1＋20%为公比的等比数列．(1)a6＝10(1＋20%)5＝10×1.25＝24.8832≈25(万吨)．(2)S6＝10[1＋20%6－1]1＋20%－1＝10×1.26－10.2＝99.2992≈99.3(万吨)．∴从2005年到2010年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)．(3)由于从2005年到2010年共减少工业废弃垃圾4×99.3＝397.2(万吨)，∴从2005年到2010年共节约土地562.4×397.2×1047.4×108≈3(平方公里)．国家计划在西部地区退耕还林6370万亩，2004年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．(1)试问从2004年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年)(2)为支持退耕还林工作，国家财政从2005年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元．试问：西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付多少亿元？(精确到亿元)[解析]设从2004年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1，a2，a3，…，an，…万亩．则(1)a1＝515(1＋12%)，a2＝515(1＋12%)2，…，an＝515(1＋12%)n，…Sn＝a1＋a2＋…＋an＝5151＋0.121－1.12n1－1.12＝6370－515⇒515×1.12×(1.12n－1)＝5855×0.12∴1.12n＝2.22，∴n＝7.故到2011年底西部地区才能完成退耕还林计划．(2)设财政补助费为W亿元．则W＝(300×0.7＋20)×(6370－515)×10－4＝134.6(亿元)所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付134.6亿元．探索延拓创新命题方向数列求和与综合应用[例4]设{an}为等比数列，Tn＝na1＋(n－1)·a2＋…＋2an－1＋an，已知T1＝1，T2＝4.(1)求数列{an}的首项和公比；(2)求数列{Tn}的通项公式．[解析](1)设等比数列{an}的公比为q，则T1＝a1，T2＝2a1＋a2＝a1(2＋q)．又T1＝1，T2＝4，∴a1＝1，q＝2.(2)解：法一：由(1)知a1＝1，q＝2，∴an＝a1·qn－1＝2n－1，∴Tn＝n·1＋(n－1)·2＋(n－2)·22＋…＋2·2n－2＋1·2n－1，①2Tn＝n·2＋(n－1)·22＋(n－2)·23＋…＋2·2n－1＋1·2n.②②－①得Tn＝－n＋2＋22＋…＋2n－1＋2n＝－n＋21－2n1－2＝2n＋1－(n＋2)．法二：设Sn＝a1＋a2＋…＋an，而an＝2n－1，∴Sn＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.∴Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an＝a1＋(a1＋a2)＋(a1＋a2＋a3)＋…＋(a1＋a2＋…＋an－1＋an)＝S1＋S2＋…＋Sn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－(n＋2)．已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…，构造一个新数列：a1，(a2－a1)，(a3－a2)，…，(an－an－1)，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列．(1)数列{an}的通项an＝________；(2)数列{an}的前n项和Sn＝________.[答案](1)32[1－(13)n](2)34(2n－1)＋14(13)n－1[分析]通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了．[解析](1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋13＋132＋…＋13n－1＝1－13n1－13＝3