高一数学讲义-函数与方程

1第六讲函数与方程2020年5月一、课标解读：1.了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；2.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；3.根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；4.体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式．二、知识梳理：方程的根与函数的零点1.函数零点的概念：对于函数yfxxD把使0fx成立的实数x叫做函yfxxD的零点.2.函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标.即方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．3.二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy．0时，方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．0，方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．0，方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．三、方法归纳：1、函数零点的求法：（1）（代数法）求方程0)(xf的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．2、对于一元二次方程根的分布问题，可以利用一元二次方程和二次函数的关系，借助图象来处理.2四、课堂例题精讲：1.若函数2fxxaxb的两个零点是2和3，则函数21gxbxax的零点是________．答案：12和13解析：由题意，得22220330abab，解得56ab.∴2651gxxx，令0gx，很容易得到其零点为12和13.2.求函数132)(3xxxf零点的个数为.答案：3解析：因332()2312212(1)(1)fxxxxxxxxx2(1)(221)xxx，又22210xx显然有两个实数根，故132)(3xxxf共三个零点.3.已知11yxxx的图象如图所示，今考虑110.01fxxxx，则方程0fx①有三个实根；②当1x时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）；③当10x时，恰有一实根；④当01x时，恰有一实根；⑤当1x时，恰有一实根．则正确结论的编号为.答案：①②解析：∵22310.015.990f，10.010f，即210ff，∴在2,1内有一个实根．由图中知，方程0fx在,1上只有一个实根，所以②正确；又∵00.010f，由图知0fx在1,0上没有实数根，所以③不正确；又∵0.50.50.51.50.010.3650f，10.010f，即0.510ff，所以0fx在0.5,1上必有一个实根，又0.500ff，∴0fx在0,0.5上也有一个实根．∴0fx在0,1上有两个实根，④不正确；由10f且fx在1,上是增函数，∴0fx在1,上没有实根．∴⑤不正确．并且由此可知①也正确．4.若函数xfxaxa（0a且1a）有两个零点，则实数a的取值范围是.答案：1a3解析：设函数(0,xyaa且1a）和函数yxa，则由函数xfxaxa（0a且1a）有两个零点，知函数(0,xyaa且1a）与函数yxa有两个交点，由图象可知当10a时两函数只有一个交点，不符合，当1a时，函数(1)xyaa的图象过点0,1，而直线yxa所过的点一定在点0,1的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是1a.5.当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：（1）方程2340axxa的两根都小于1；（2）方程022axx至少有一个实根小于1．解析：（1）当0a时，0x满足题意．当0a时，设2()34fxaxxa.若要方程两根都小于1，只要2339160443310223(1)005aaaaaafaa或或304a综上，方程的根都小于1时，304a（2）设2()2fxxax，若方程的两个实根都小于1，则有28022221223(1)0aaaaaaf或223a若方程的两个根一个大于1，另一个小于1，则有(1)30fa，∴3a．若方程的两个根中有一个等于1，由根与系数关系知另一根必为2，∴12a，∴3a．综上，方程至少有一实根小于1时，22a．6.已知二次函数2()fxaxbxc和一次函数()gxaxb，其中abc，且(1)0f，（1）求证：两函数()fx、()gx的图象交于不同两点A、B；4（2）求线段AB在x轴上投影11AB长度的取值范围．解析：（1）∵(1)0fabc，abc，∴0a，0c．由2yaxbxcyaxb＝＋＋＝＋得2()0axbaxcb，因为2()40baac，所以两函数()fx、()gx的图象必交于不同的两点；（2）设11(,)Axy，22(,)Bxy，则211||AB2212()(2)4cxxa．∵0abc，abc，∴122ca，∴11||AB（23，32）．7.关于x的二次方程2110xmx在区间0,2上有解，求实数m的取值范围．解析：设211fxxmx，0,2x，①若0fx在区间0,2上有一解，∵010f，则应有20f，又∵222121fm，∴解得32m.②若0fx在区间0,2上有两解，则0102220mf，即21403141210mmm，解得312m由①②可知1m.五、课堂训练：1.已知函数2xfxexa有零点，则a的取值范围是___________．答案：,2ln22解析：设xgxe，2hxxa，当两条曲线相切时，函数有零点，再通过图像即可得到答案.2.设全集为R，集合{|sin(2),}642Ayyxx，集合{|RBa关于x的方程012axx的根一个在0,1上，另一个在1,2上}.求（RA）∩（RB）.解析：由2422xx得，512,sin(2)136626xx，5即1{|1}2Ayy，∴RA1{|1}2yyy或又关于x的方程012axx的根一个在0,1上，另一个在1,2上，设函数1)(2axxxf，则满足(0)0,20(1)0,520(2)0,fafaf即，∴522a．∴5{|2}2RBaaa或∴（RA）∩（RB）15{|21}22xxxx或或．3.设1x与2x分别是实系数方程20axbxc和20axbxc的一个根，且1212,0,0xxxx，求证：方程202axbxc有且仅有一根介于1x和2x之间.解析：令2(),2afxxbxc由题意可知2211220,0axbxcaxbxc故221122,,bxcaxbxcax则2222111111(),222aaafxxbxcxaxx22222222223(),222aaafxxbxcxaxx因为120,0,0axx∴12()()0fxfx，即方程202axbxc有且仅有一根介于1x和2x之间.4.已知函数421xxfxm有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．解析：∵421xxfxm有且仅有一个零点，即方程22210xxm仅有一个实根．设20xtt，则210tmt.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴2m，当m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1（不合题意，舍去），∴2x＝1，解得x＝0符合题意．当Δ0时，即m2或m－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f（x）有两个零点或没有零点．∴这种情况不符题意．综上可知：m＝－2时，f（x）有唯一零点，该零点为x＝0.六、课后检测：1.如果二次函数)3(2mmxxy有两个不同的零点，则m的取值范围是.62.若函数f（x）＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af（－2x）0的解集是__________．3.若函数2()4fxxxa的零点个数为3，则a______.4.当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：（1）方程2270xaxa的两个根一个大于2，另一个小于2；（2）方程22(4)2530xaxaa的两根都在区间[1,3]上；（3）方程227(13)20xaxaa的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；5.已知a是实数，函数f（x）＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f（x）在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围．参考答案：1.6m或2m2.x|－32x1解析：∵f（x）＝x2＋ax＋b的两个零点是－2，3.∴－2，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系知－2＋3＝－a－2×3＝b，∴a＝－1b＝－6，∴f（x）＝x2－x－6.∵不等式af（－2x）0，即－（4x2＋2x－6）0⇔2x2＋x－30，故解集为x|－32x13.答案：3解析：作出函数24yxx与函数4y的图象，发现它们恰有3个交点.4.解析：（1）设22()70fxxaxa，其图象为开口向上的抛物线．若要其与x轴的两个交点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f，即24270aa，∴13a．（2）设22()(4)253fxxaxaa则方程两个根都在[1,3]上等价于：222(1)0340(3)004136224(32)0()02faafaaaaaaf7∴01a．（3）设22()7(13)2fxxaxaa，则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价22220(0)0(1)0280(2)030aaffaafaa122403aaaaa或或21a或34a．5.解析：当0a时，()23fxx，显然在1,1上没有零点，所以0a.令248382440aaaa，解得372a①当372a时，yfx恰有一个零点在1,1上；②当05111aaff，即15a时，yfx在1,1上也恰有一个零点.③当yfx在1,1上有两个零点时，则208244011121010aaaaff或208244011121010aaaaff解得5a或352a.综上所求实数a的取值范围是1a或352a.