2.9-函数与方程—讲义

第1页共6页函数与方程2.9函数与方程一．【目标要求】①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，②判断一元二次方程根的存在性及根的个数．③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性.二．【基础知识】1．函数零点的概念：对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。2．函数零点与方程根的关系：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有点函数)(xfy有零点3．函数零点的存在性定理：如果函数)(xfy在区间,ab上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy在区间,ab内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。注：若()0()0fxfx或恒成立，则没有零点。三．【技巧平台】1.对函数零点的理解及补充（1）若)(xfy在xa处其函数值为0，即()0fa，则称a为函数()fx的零点。（2）变号零点与不变号零点①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则0)()(bfaf是()fx在区间,ab内有零点的充分不必要条件。（3）一般结论：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf的实数根。从图像上看，函数)(xfy的零点，就是它图像与x轴交点的横坐标。（4）更一般的结论：函数()()()Fxfxgx的零点就是方程()()fxgx的实数根，也就是函数()yfx与()ygx的图像交点的横坐标。第2页共6页函数与方程2.函数)(xfy零点个数（或方程0)(xf实数根的个数）确定方法1)代数法：函数)(xfy的零点()0fx的根2)几何法：有些不容易直接求出的函数)(xfy的零点或方程0)(xf的根，可利用)(xfy的图像和性质找出零点。画3)注意二次函数的零点个数问题0)(xfy有2个零点()0fx有两个不等实根0)(xfy有1个零点()0fx有两个相等实根0)(xfy无零点()0fx无实根对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定4)对于函数()()()Fxfxgx的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。5)方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。6)要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数a化为正数，第3页共6页函数与方程（1）20(0)axbxca恒成立00a，20(0)axbxca恒成立00a（2）20axbxc的解集为R0000aabc或20axbxc的解集为R0000aabc或（3）对于二次函数在区间,ab上的最值问题，参照第1.5（1）和1.5（2）节3.构造函数解不等式恒成立的问题（1）含有参数的不等式恒成立问题，若易于作出图像，则用图像解决，若不易作图，可分离参数。（2）()mfx恒成立max()mfx，()mfx恒成立min()mfx（注意等号是否成立）（3）()mfx有解min()mfx，()mfx有解max()mfx（4）()0fx在区间,ab上恒成立min()fx在,ab上大于0四．【例题精讲】考点一、函数的零点例1.判断函数232()143fxxxx在区间1,1上零点的个数，例2.若函数()fxaxb有一个零点为2，那么2()gxbxax的零点是。例3.设3()fxxbxc在1,1上的增函数，且11022ff，则方程()0fx在区间1,1内有个实数根。【举一反三】1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）2()318,1,8fxxxx（2）3()1,[1,2]fxxxx（3）2()log2,1,3fxxxx（4）1(),0,1fxxxx第4页共6页函数与方程考点二：二次函数的零点例4.是否存在这样的实数a，使函数2()(32)1fxxaxa在区间1,3上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点，若存在，求出范围，若不存在，说明理由。考点三、方程的根与函数的零点例5.已知二次函数2()fxaxbxc（1）若(1)0abcf且，试证明()fx必有两个零点；（2）若对1212,xxRxx且,12()()fxfx,方程121()[()()]2fxfxfx有两个不等实根，证明必有一个实根属于12,xx【举一反三】2.12xx与分别是实系数方程20axbxc和20axbxc的一个根，且1212,0,0xxxx，求证：方程202axbxc的一个根介于12xx与之间。第5页共6页函数与方程【练习】1.函数(1)ln()3xxfxx的零点有个。2.()fx是定义在R上的以3为周期的偶函数，且(2)0f，则方程()0fx在区间0,6内解的个数是。3.已知函数()45fxxx，则当方程()fxa有三个根时，实数a的取值范围是。4.函数321()252fxxxx在区间1,2上有三个零点，求的取值范围。5.设01aa且，函数2()log(23)afxxx有最小值，则不等式log(1)0ax的解集为。6.函数2()(0)fxaxbxca的图像关于直线2bxa对称，据此可推测，对任意的非零实数,,,,,abcmnp关于x的方程2[()]()0mfxnfxp的解集不可能是下列表达式中的哪一个。①1,2②1,4③1,2,3,4④1,4,16,647.若函数()(01)xfxaxaaa且有两个零点，则实数a的取值范围是。8.已知定义在R上的奇函数()fx，满足(4)()fxfx，且在区间0,2上是增函数，若方程()(0)fxmm在区间8,8上有四个不同的根1234,,,xxxx，则1234xxxx。9.已知函数21()log,,()()()03xfxxabcfafbfc，实数d是函数()fx的一个零点，给出下列四个命题：①da②ab③dc④dc其中可能成立的是。10.设函数()||fxxxbxc，则下列命题中说法正确的是①当0b时，函数()fx在R上是单调增函数②当0b时，函数()fx在R上有最小值③函数()fx的图像关于点0,c对称④方程()0fx可能有三个实数根11.在平面直角坐标系中，设直线32myx和圆222xyn相切，其中,mnN，0||1mn，若函数1()xfxmn的零点0(,1),xkkkZ，则k=。第6页共6页函数与方程12.方程2210xx的解可视为函数2yx的图像与函数1yx的图像交点的横坐标，若方程440xax的各个实根12,,,,(4)kxxxk所对应的点4,(1,2,)iixikx均在直线yx同侧，则实数a的取值范围是。13.方程2240xx的实数解的个数是。14.设定义域为R的函数lg1,1()01xxfxx，则关于x的方程2()()0fxbfxc有7个不同实数解的充要条件是。15.若关于x的方程2120kxxx有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是。16.若函数2()lg22fxxax在区间1,2内有且公有一个零点，则实数a取值范围是。