第三章-第一节--任意角的概念与弧度制、任意角的的三角函数

第三章三角函数、三角恒等变形、解三角形第一节任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数1.角的有关概念射线旋转象限角正角负角零角α+k·360o,k∈Z2.弧度的定义和公式(1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________的弧所对的圆心角为1弧度的角,它的单位符号是____，读作_____.角α的弧度数公式|α|=（弧长用l表示）角度与弧度的换算①1°=rad②1rad=()°弧长公式弧长l=扇形面积公式S==rl1801801r2l21r||2单位长度rad弧度r|α|（2）公式：3.任意角的三角函数（1）定义：在平面直角坐标系中，设角α的终边与单位圆交于点P(u,v)，则sinα=__，cosα=__，tanα=.(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).vu0u（）vu如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的_______，角α的_______和角α的_______.正弦线余弦线正切线4.特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度数0πsinα______cosα________tanα______3212123233333364322356022132120132221200-110判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.（1）小于90°的角是锐角.()（2）锐角是第一象限角，反之亦然.()（3）与45°角终边相同的角可表示为k×360°+45°，k∈Z或2kπ+45°，k∈Z.()（4）将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是60°.()（5）终边相同的角的同一三角函数值相等.()（6）点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α终边在第二象限.()【解析】（1）错误.负角小于90°但它不是锐角.（2）错误.第一象限角不一定是锐角，如-350°是第一象限角，但它不是锐角.（3）错误.不能表示成2kπ+45°,k∈Z，即角度和弧度不能混用.（4）错误.拨快分针时，分针顺时针旋转，应为-60°.（5）正确.由诱导公式（一）可知或由三角函数的定义可得.(6)正确.由已知得tanα＜0，cosα＜0，所以α为第二象限角.答案：（1）×（2）×（3）×（4）×(5)√(6)√1.终边落在第二象限的角可表示为()(A){α|90°+2kπ＜α＜180°+2kπ，k∈Z}(B){α|+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z}(C){α|90°+k×180°＜α＜180°+k×180°，k∈Z}(D){α|+kπ＜α＜π+kπ，k∈Z}【解析】选B.A错，角度与弧度不能混用.C,D错，当k为奇数时不成立，故选B.24342.已知sinθ＜0，tanθ＞0，那么角θ是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角【解析】选C.由sinθ＜0，则θ的终边在三、四象限，或y轴负半轴.由tanθ＞0，则θ的终边在一、三象限，故θ是第三象限角.3.已知扇形的面积为2cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()(A)2(B)4(C)6(D)8【解析】选C.设扇形的弧长为l，半径为r,圆心角为α，则解得r=1,故l=|α|r=4×1=4,所以扇形周长为2r+l=2×1+4=6.2211Sr4r2,224.已知角α终边上一点A(2,2)，则tanα=______.【解析】答案：1y2tan1.x2考向1终边相同的角的表示【典例1】（1）若α是第三象限的角，则π-α是()(A)第一或第二象限的角(B)第一或第三象限的角(C)第二或第三象限的角(D)第二或第四象限的角（2）已知角α是第一象限角，确定2α，的终边所在的象限位置.122【思路点拨】(1)由α为第三象限角求得π-α的范围，通过对k的奇偶性讨论可得解.(2)由α所在的象限写出角α的范围，从而得2α,的范围，最后确定终边所在的位置.【规范解答】(1)选B.由得故当k为偶数时π-α在第一象限，当k取奇数时π-在第三象限，故选B.12232k2kkZ,2＜＜，13kkkZ224＜＜，，1kk,kZ.422＜＜122(2)∵α是第一象限角，①k·4π＜2α＜k·4π+π,k∈Z,即2k·2π＜2α＜2k·2π+π,k∈Z,∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.当k=2n(n∈Z)时,∴的终边在第一象限.k2k2,kZ.2＜＜kk,kZ,24②＜＜2n2n,nZ,24＜＜2当k=2n+1(n∈Z)时,即∴的终边在第三象限.综上可得的终边在第一象限或第三象限.2n12n1,nZ,24＜＜52n2n,nZ,24＜＜22【拓展提升】强化对终边相同角的表示与应用(1)所有与α的终边相同的角都可表示为β=α+k×360°,k∈Z的形式.(2)根据与α终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角；也可以根据α的终边所在的象限,判断α的倍数角所在的象限或范围.(3)与α终边相同的角的表达式中一定是k×360°或k·2π，两种单位不能混用.【变式训练】若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是________________.【解析】当α，β的终边重合时，β=α+k·2π,k∈Z.当α，β的终边互为反向延长线时，β=π+α+k·2π=α+(2k+1)π,k∈Z.答案：β=α+k·2π，k∈Z或β=α+(2k+1)π,k∈Z考向2弧度制的应用【典例2】（1）已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径r=6，求的长及扇形面积.（2）已知扇形周长为20，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？【思路点拨】（1）将圆心角化为弧度，再利用弧度制下的弧长、面积公式求解.（2）利用扇形周长得半径与弧长的关系，将面积化为关于半径r的二次函数后求最值.AB【规范解答】(1)(2)由已知得l+2r=20，=10r-r2=-（r-5）2+25，所以r=5时，面积有最大值，且Smax=25,此时l=10，所以即当圆心角为2弧度时，面积有最大值25.21203，2r643，l11Sr4612.22l11Sr202rr22（）l102rad.r5（）l【互动探究】本例题（1）中若求扇形的弧所在的弓形面积，又将如何求解？【解析】由题（1）解析得故弓形的面积为212SSS126sin23弓扇形1293.1293,【拓展提升】弧度制应用的关注点（1）弧度制下，弧长l=|α|·r，扇形面积此时α为弧度.在角度制下，弧长扇形面积此时n为角度.（2）在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形进行求解.1Sr2，lnr180，l2nrS360，【变式备选】已知半径为10的圆O中，弦|AB|的长为10.(1)求弦|AB|所对的圆心角α的大小.(2)求角α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解析】(1)由⊙O的半径r=10=|AB|，知△AOB是等边三角形，(2)由(1)可知∴弧长l而AOB60.3r103，，10r1033，111050Sr102233扇形，lAOB11031103S|AB|10253,2222AOB50SSS253.3扇形考向3三角函数的定义【典例3】（1）（2013·安庆模拟）已知函数y=loga(x-1)+3(a0且a≠1)的图像恒过点P，若角α的终边经过点P，则sin2α-2sinαcosα的值等于()(A)(B)(C)(D)（2）已知角α的终边上一点P（，m），m≠0,且求cosα,tanα的值.31351331351332msin,4【思路点拨】（1）先确定点P的坐标，然后利用定义求出sinα,cosα即可.（2）先由并结合三角函数的定义建立关于参数m的方程，求出m的值，再根据定义求cosα，tanα.2msin4【规范解答】(1)选C.由题意知点P坐标为（2，3），故所以因此(2)由题设知∴r2=|OP|2=（-）2+m2（O为原点），从而22r2313,33132213sin,cos,13131313223133132133sin2sincos()2.13131313x3ym，，2r3m.m2mmsinr422，2r3m22，3于是3+m2=8，解得当时，当时，m5.m5r22x3，，3615costan4322，.m5r22x3，，3615costan4322，;【互动探究】将本例题（2）中改为如何求sinα，cosα？【解析】由已知得，又得m=-1，2msin4“”3tan3“”，mtan3，3m3tan,333，P31r2（，），，1133sincos.2222，【拓展提升】1.三角函数定义的推广在直角坐标系xOy中，设P(x,y)是角α终边上任意一点，且点P到原点O的距离|PO|＝r，则2.定义法求三角函数值的两种情况（1）已知角α终边上一点P的坐标时，可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义的推广求解.（2）已知角α的终边所在的直线方程时，可分两种情况先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用yxysincostan.rrx＝；＝；＝三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值.【变式备选】已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sinα,cosα,tanα的值.【解析】∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),则x=4t,y=-3t,当t＞0时，r=5t,2222rPOxy4t3t5t,y3t3x4t4sin,cos,r5t5r5t5y3t3tan;x4t4当t＜0时，综上或y3t3r5t,sin,r5t5x4t4y3t3costan.r5t5x4t4，343sincostan554，，343sincostan.554，，【易错误区】三角函数定义中忽略分类讨论致误【典例】（2013·天津模拟）已知角θ的终边上一点P（3a，4a）（a≠0）,则sinθ=_______.【误区警示】本题易出现的错误是：由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，即没有对a的取值进行分类讨论，而求出r=5a，从而导致结果错误.【规范解答】∵x=3a,y=4a,(1)当a＞0时，r=5a，(2)当a＜0时，r=-5a，答案：22r3a4a5a.y4sin.r5y4sin.r54sin.545【思考点评】1.任意角的三角函数的定义对于三角函数的定义，如果不是在单位圆中，设角α的终边经过点P（x，y），从而|OP|=r=则sinα=2.分类讨论思想的应用对于利用三角函数定义解题的题目中，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论解题.在分类讨论时要对参数的所有情况逐类讨论，最后要进行归纳总结.22xy，xycostan.rx，yr，1.(2013·铜川模拟)如果点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,那么角θ的终边所在象限是()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选B.由点P在第三象限知所以故角θ的终边在第二象限.sincos0,2cos0,sin0,cos0,2.(2013·汉中模拟）已知