导数进阶大法

1导数进阶大法前言：导数作为压轴题备选，难度是很大的.遗憾的是，高中讲述的导数方法太少，课堂上留给导数的时间也不多，于是导数题同学们只能自己钻研.而它的难度很大，辅导书上的解法又过于繁杂，笔者将自己总结的经验列出来，并辅以练习题.希望能给同学们一点帮助.此专项分为两大部分，第一部分是各种技巧，全部为例题形式.第二部分是练习题.第一部分又分两部分.第一部分是函数研究三部曲.第二部分是零碎的技巧.Content一．函数研究三部曲1.多次求导……………………………………………………………………例1、22.猜根法………………………………………………………………………例3、43.无法求出的零点………………………………………………………………例5二．技巧部分4.描绘函数的图像5.分参法………………………………………………………………………例6-126.等价转换①看破…………………………………………………………………………例13②tab…………………………………………………………………………例14③xxln的分离……………………………………………………………………例15④对数……………………………………………………………………………例167.参数特值的应用①基本应用……………………………………………………………………例17②ln的求和………………………………………………………………………例18③0)0(f………………………………………………………………………例19一．函数研究三部曲在这一部分，我们将通过几个例题总结出函数研究的基本套路，称作“函数研究三部曲”.1.多次求导.在高等数学中叫做“高阶导数”.多次求导不需要新的方法，却有巨大的作用.例1（2014北京改编）xxxfsin)(，)2,0(x，判断)(xf的增减性.给)(xf求导.2sincos)('xxxxxf.接下来，我们的惯用手段是令)('xf=0，解出零点.但是我们发现，0sincosxxx并不好解.这时我们需要新的办法.2令xxxxhsincos)(，)2,0(x.则xxxhsin)(',0)(',0sin),2,0(＜＞xhxx)(xh在)2,0(x时单减.0)0()(hxh＜.这意味着)('xf的分子是负的.所以0)('＜xf.所以)(xf在)2,0(x时单减.【思考：1.对于分式函数，求导后分母是正的，常常将分子另设一个函数进行分析.2.通过二次求导可以看出，)('xf=0在），（20上是无解的，如果一味去求导函数的零点，这个题就做不出来了.】例2（2013年山东）设函数2()(2.71828xxfxcee是自然对数的底数，)cR.（1）求()fx的单调区间，最大值；（2）讨论关于x的方程|ln|()xfx根的个数.（1）略（2）设|ln|)()(xxfxg，题目变为)(xg的零点问题.1,0ln1,ln)(22xcxexxcxexxgxx，，，于是对x分区间讨论.,1x时，xxxxxxeexxxexeexg222222221)(2)('.,44)(''241)(',12)(2,222xxxexexxxexxx，则，令,023)1(')(')('0)('',12＜单减，，＜时，exxxx单减＜＜单减，)(,0)(',01)1()()(2xgxgexx上没有零点在时，＜，即＜上有一个零点在时，，即,1)(0)1(,1)(0)1(2-2-xgecgxgecgxxxxxxeexxxexeexgx222222221)(2)('1,0时，.3)1(444)(''241)(',1,0,2)(22,222xxxxeexhexxhxexxxh则令03)0(')(')('0)(''1,0＞＞单增，，＞时，hxhxhxhx单增＞，＞＞单增，)(,0)('01)0()()(xgxghxhxh上没有零点在时，＜，即＜上有一个零点在时，，即1,0)(0)1(1,0)(0)1(2-2-xgecgxgecg注意到111,02-xec的零点重合，为，和时，时，方程没有根＜时，方程有一个根时，方程有两个根＞综上所述，2-2-2-ececec【思考：这是一道只用多次求导就可以解决的大题.多次求导很少单独出现解决问题，但它是基础方法.要体会一层一层导下去，再一层一层推回来的感觉.】2.猜根法例3xxxxxfln3)(2，求)(xf的最大值.xxxfln22)('1,0)('xxf易得令.10)(')('012)(''xxfxfxxf只有一个解单减，，＜单减，时，单增，，时，)(0)(',1)(0)('1,0xfxfxxfxfx2)1()(maxfxf【思考：0ln22xx实际上是一个超越方程，高中阶段没有学解超越方程的方法，所以当我们猜出了根，必须要说明这个根是不是唯一根，用多次求导可以说明这一点.】例4.)()0,(.ln)(2-的切线，求切线方程作过xfexxxf2-0000000ln,ln,exxxxxx则切线斜率为）设切点（1ln,1ln)('0xxxf切线斜率为.2-0000ln1lnexxxx化简得0ln2-02-0exex，易得2-e是一个解.4令01)('0ln)(2-2-2-＞），＞（xexhxexexxh所以01.)(2-2-eyxexh，切线为斜率为是唯一解单增，【思考：这是一道难题.要猜出2-e真的是很困难.一般来说，0、±1较为常见.另外，记得证明解的唯一性.】3.无法求出的零点例5（2013课标II改编）证明0)2ln(＞xex21)2(21)(',,2)2ln()(xexxexfxxexfxxx则，令令0)('xf，发现解不出来.于是我们二次求导单增，＞，令)(0)3()('1)2()(xhexxhexxhxx1)2()(hxh＞这时我们发现了不对劲的地方.1)2()(hxh＞意味着0)('xf是有解的，并不像例1和例2一样，但我们又解不出来，所以这时我们采取另外一种措施.）（此时即使存在唯一的＞，＜01)2(,0)(',0)(,1,201)0(01)2(tettfththh单增即时，单减，即时，单增，)(,0)(',0)(,)(,0)(',0)(,2)(xfxfxhtxxfxfxhtxxh)2ln()()(mintetfxft.tttttf211ln21)(）得，由（由均值不等式得022222121tttt，当且仅当时，等号成立即1221ttt等号取不到即时，又,1,0)('1txfx0)(0)()(min＞，＞xftfxf，得证.【思考：当多次求导，然后原路返回受阻时，可以采用这种方法，设出零点，然后代入原函数，用不等式解决.注意要用零点的存在性定理说明零点存在.】由以上几例，我们可以总结出函数研究三部曲.※函数研究三部曲①求导.求导可以不是一次，而且一般不是一次.一次一次地导下去，导到可以轻松地看出正负为止.②反推.求导停止之后，按原路返回.③反推过程中，如果每一次都保持定号，则属例1.2的解法，如果出现了零点，则猜根.猜出来了，属例3.4解法，猜不出来，则设根，属例5解法.5[注]在第一步多次求导中，一般来说是越导越简单，如果出现了越导越复杂的情况，我们要另寻他法，这种情况我们后面再提.二.技巧部分在上一部分，我们得到了“函数研究三部曲”.可是好事多磨，又出现了新的问题.出题者为了迷惑考生，将要研究的函数隐藏起来，不直接给出要研究的函数.这就带来麻烦.在这一部分，我们将寻找从题目中把要研究的函数挖掘出来的方法.在正式开始之前，先了解函数图像的描绘方法.4.描绘函数图像的步骤①求定义域②判断函数的周期性、奇偶性、有界性.③求导数，确定函数的单调区间、极值点.④求区间的端点值或极限.确定区间的最值.⑤画图.[注]①在第三步中，求导不意味着一阶导数，有可能是多阶.②求极限常出现在区间是开区间的时候.③求极限的方法（i）如果某开区间的端点值带入函数可以算出数，仅仅是在原题目里取不到这个点的话，将直接带入端点所得函数值作为此点的极限.如：,0)(,2xxxf，则0)(lim0xfx，又如,2,sin)(xxxf，则.0)(lim,1)(lim2xfxfxx（ii）的不定式和00洛必达法则：若)(')('lim)()(lim,0)(lim,0)(limxgxfxgxfxgxfaxaxaxax则)(')('lim)()(lim,)(lim,)(limxgxfxgxfxgxfaxaxaxax则若如11coslim)'()'(sinlimsinlim000xxxxxxxx又如01lim11lim)'()'(lnlimlnlimxxxxxxxxxx【注：1.对于洛必达法则的说明摘自高等数学，故使用时必须说明“由洛必达法则得lim···=···”.2.上述洛必达法则的说明并不严谨和完全，完整的洛必达法则请参考高等数学.63.如果分子分母导一次仍然是和00，则可以再导，一直导到可以求出数为止.5.分参法这是最庞大的一部分，此方法思想不难，但应用很广.先介绍一下分参法的思想.当原函数里有未知参数时，未知参数往往影响到导函数的正负，也影响到原函数的增减区间，这时，传统思想是分类讨论.但分类讨论太麻烦，我们采用分参法把参数分离出来，构造出一个新的不含未知参数的函数，借助函数研究三部曲和描绘函数图像的知识解题，分离出来的参数往往被看做一条直线.下面介绍两种基本题型.⑴恒成立，求范围例6若.,0ln的取值范围恒成立，求在＜axaxx（i）先是传统的分类讨论法设0,ln)(＞xaxxxf，则只需使0)(max＜xf即可.单增时，)(,0)('011)('xfxfaxaxaxxf舍去此时不等式不成立，时，0,0,ln0aaxxxeaafxfxfxfaxxfxfaxaxxfa10)1()()(0)(',1)(0)('1,0,10)('0max＞，解得＞单减，，时，单增，，时，且得时，＞综上所述，,1ea的取值范围是（ii）分参法.ln,0ln恒成立＞恒成立，等价于在＜xxaxaxxmax)(,ln)(xhaxxxh＞则设单增，时，且得)(,0)(',0,0)(',ln1)('2xhxhexexxhxxxheaeehxhxhxhex11)()()(,0)(',max＞，单减，时，【思考：明显看出，分参法步骤即少，思路又简单明了，是恒成立问题的不二之选.】例7（2014辽宁）当[2,1]x时，不等式32430axxx恒成立，求实数a的取值范围.如果这道题用传统法，估计是很难做出来了.故分类讨论法不再详述.7分参法：①都成立对任意时，ax030②恒成立时，原不等式等价于32341,0xxxax，令，1,1txttttth2343)(，)(maxtha则，66)1()()(0)('maxahththth，单减，，＜③恒成立时，原不等式等价于32340,2xxxax