四年级数学思维能力拓展专题突破系列(三)等差数列

四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列------等差数列基础（1）温馨提示：该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。等差数列的认识、通项公式的使用1.熟悉等差数列通项公式2.应用等差数列通项公式计算例题1：判断下面哪些是等差数列？⑴1、0、1、0、1、0…⑵2、8、14、20、26…⑶1、2、2、3、4、5…⑷95、90、85、80、75…例题2：一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米。第一次跳了10厘米，它一共跳了100次，问它第100次跳多高？例题3：一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高2厘米。第5次跳了10厘米，它一共跳了60次，问它第60次跳多高？例4：一个等差数列共13项。每一项都比它的前一项大7，并且末项为125。求首项是多少?（即使该课程的课后测试）练习1：判断下面哪些是等差数列，是的画√，不是的画×。（1）4、8、12、16、20、24…（）（2）1、2、3、5、8、13…（）（3）3、3、3、3、3、3、3…（）（4）40、38、37、36、34、32…（）练习2：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？练习3：求等差数列2、5、8、11…的第100项？练习4：求1、5、9、13、…这个等差数列的第30项？练习5：一个等差数列共20项。每一项都比它的前一项大3，并且末项为125。求首项是多少？练习1：判断下面哪些是等差数列是的画√，不是的画×。（1）4、8、12、16、20、24…（√）公差为4（2）1、2、3、5、8、13…（×）相邻两项分别差1、1、2、3、5（3）3、3、3、3、3、3、3…（√）公差为0（4）40、38、37、36、34、32…（×）相邻两项分别差2、1、1、2、2练习2：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？分析：1(1)naand481(481)64476286aa练习3：求等差数列2、5、8、11…的第100项？分析：1(1)naand1001(1001)32993299aa练习4：求1、5、9、13、…这个等差数列的第30项？分析：1(1)naand301(301)41294117aa练习5：一个等差数列共20项。每一项都比它的前一项大3，并且末项为125。求首项是多少？分析：1(1)naand120(201)312519368aa四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列------等差数列基础（2）掌握等差数列的项数和公差公式1.熟悉等差数列项数公式、公差公式2.应用等差数列项数公差公式计算例题1：有一公差6的等差数列，a1=12，an=84，求n的值？例题2：体育课上老师指挥大家排成一排，乐乐站排头，哈哈站排尾，从排头到排尾报数。⑴如果乐乐报3，哈哈报25，每位同学报的数都比前一位多2，那么队伍里一共有多少人？⑵如果乐乐报17，哈哈报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？例题3：艳艳老师在黑板上写了一个等差数列，刚写完，老顽童奥大叔就擦去了其中的大部分，只留下第四个数31和第十个数73。能找出这个等差数列的公差吗？例4：在124和245之间插入10个数以后，使它成为一个等差数列。这10个数中，最小的是几？最大的是几？（即使该课程的课后测试）练习1：在数列3、6、9……、201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？练习2：在等差数列中4、10、16、22、……中，508是这个数列的第几项？练习3：一个等差数列首项是11，末项是91，共9项，公差是多少？练习4：一个等差数列的第5项是46，第16项是167，公差是多少？练习5：在27和76之间插入6个数，使它成为一个等差数列，这6个数中最大是多少，最小是多少？练习1：在数列3、6、9……、201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？分析：项数=（201-3）3+1=67末项=3+（201-1）×3=603答：共有67项，第201个数是603。练习2：在等差数列中4、10、16、22、……中，508是这个数列的第几项？分析:项数=（508-4）÷6+1=85答：508是这个数列的第85项。练习3：一个等差数列首项是11，末项是91，共9项，公差是多少？分析:公差=（末项-首项）÷（n-1）=（91-11）÷（9-1）=10答：公差是10。练习4：一个等差数列的第5项是46，第16项是167，公差是多少？分析：165()(165)(16746)(165)1211111daa答：公差是11。练习5：在27和76之间插入6个数，使它成为一个等差数列，这6个数中最大是多少，最小是多少？分析：8个数形成等差数列，首项为27，末项为76，则：公差=（76-27）÷（8-1）=49÷7=7最小数=27+7=34最大数=76-7=69答：这6个数中最大是69，最小是34。四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列------等差数列求和掌握等差数列求和公式1.熟悉等差数列求和公式2.应用等差数列求和公式计算例题1：(2＋4＋6＋8＋10＋…＋2000)－(1＋3＋5＋7＋9＋…＋1999)例题2：1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13+…＋99＋100例题3：求1至100内被3整除数的和？例题4：求1到100不能被3整除数的和？例题5：求100以内能被2或3整除数的和？（即使该课程的课后测试）练习1：计算（1+3+5+…+1991）－（2+4+6+…+1990）练习2：计算5+10+15+20+…+190+195+200的和。练习3：求自然数中被10除余1的所有两位数的和？练习4：求不超过500的所有不能被11整除的自然数的和？练习5：求297＋294＋291＋……＋9＋6＋3的和。练习1：计算（1+3+5+…+1991）－（2+4+6+…+1990）分析：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996所以被减数的总和=(1+1991)×996÷2=992016减数的项数=(1990-2)÷2+1=995所以减数的总和=(2+1990)×995÷2=991020所以原式=992016-991020=996练习2：计算5+10+15+20+…+190+195+200的和。分析：首项=5，末项=200，公差=5项数=(200-5)÷5+1=405+10+15+20+…+190+195+200=(5+200)×40÷2=4100练习3：求自然数中被10除余1的所有两位数的和？分析：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。11+21+31+……+91=（11+91）×92=459练习4：求不超过500的所有不能被11整除的自然数的和？分析：用1到500的和减去能被11整除数的和。能被11整除最小的数是11，最大的是495，共45项。（1+500）×500÷2－（11+495）×45÷2=125250-11385=113865练习5：求297＋294＋291＋……＋9＋6＋3的和。分析：297＋294＋291＋……＋9＋6＋3＝3＋6＋9＋……＋291＋294＋297，对于重新排列的这列数，首项＝3，末项＝297，公差d＝3项数n＝（297－3）÷3＋1＝98＋1＝99S=（3＋297）×99÷2=300×99÷2=150×99=14850四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列------等差数列提高掌握等差数列中项定理1.熟练掌握等差数列中项定理公式2.灵活应用等差中项定理进行计算例题1：(2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011)÷2008例题2：把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少？例题3：已知一个等差数列的前15项之和为450，前20项之和为750，问这个数列的公差是多少？首项是多少？例题4：乐乐和哈哈同时开始工作。乐乐第一个月得到1000元工资。以后每月多得60元；哈哈第一个月得到500元工资，以后每月多得45元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？（即使该课程的课后测试）练习1：从小到大连续11个偶数的和为594，求第三个偶数是多少？练习2：一个等差数列一共有13项，公差为11，若已知这个等差数列的和为3926，求在这个数列中最小的数为多少？练习3：从小到大连续12个奇数的和为600，求第三个奇数是多少？练习4：小王看一本书，第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，最后一天看了78页正好看完。这本书共有多少页？练习5：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示)，求这堆钢管一共有多少根？练习1：从小到大连续11个偶数的和为594，求第三个偶数是多少？分析：（中项定理）594÷11=54得中间数，即第6项为54。54-2×3=48答：第三个偶数是48。练习2：一个等差数列一共有13项，公差为11，若已知这个等差数列的和为3926，求在这个数列中最小的数为多少？分析：根据中项定理得：7a=392613302最小的为：302-（7-1）×11=236答：在这个数列中最小的数为236。练习3：从小到大连续12个奇数的和为600，求第三个奇数是多少？分析：因为是连续的奇数，形成公差为2的等差数列。中间两项的和为：600÷12×2=100；第六项：（100-2）÷2=49；第三项：49-2×（6-3）=43答：第三个奇数是43。练习4：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，最后一天看了78页正好看完。这本书共有多少页？分析：先求共看多少天：n=（78-20）÷2+1=30（天）S=（20+78）×30÷2=98×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。练习5：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示)，求这堆钢管一共有多少根？分析：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以10为末项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根，其实就是求3+4+5+…+9+10的和。项数=(10-3)÷1+1=83+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷2=52(根)。答：这堆钢管一共有52根。四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列------等差数列综合巩固掌握等差数列通项公式、求项数公式、求和公式、中项定理1.熟练掌握根据各类公式进行计算2.灵活应用等差数列求和公式和中项定理例题1：（2008年第六届走美杯四年级初赛第2题）(1+2+3+…+2007+2008+2007+…+3+2+1)÷2008例题2：盒子中放着两个小球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，把它变成4个小球后放回盒子，第二次又从盒子拿出两个球，将每个都变成4个球后放回盒子……第十次从盒子中拿出10个球，将每个都变成4个球后放回盒子。这时盒子里有多少个小球？例题3：已知数列：2、1、4、3、6、5、8、7、…、问2009是这个数列的第多少项？例题4：已知数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、…，试问：（1）15是这个数列中的第几个到第几个数？（2）这个数列中第100个数是几？（即使该课程的课后测试）练习1：1+2+3+…+499+500+499+…+3+2+1练习2：在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他人握一次手。那么一共握了多少次手？练习3：有50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？练习4：求下列方阵中所有数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。练习5：用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按下图所示铺