北师大版七年级数学下册第-四章-三角形--全等三角形的基本模型----(25PPT)

第四章三角形全等三角形的基本模型知识点回顾全等三角形的判定：1、边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等。2、角边角（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。3、角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。4、边角边（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。注意：三个角对应相等不能判定两个三角形全等(AAA)；两边分别相等且其中一组等边的对角相等不能判定两个三角形全等(SSA).全等三角形的证明思路：（SSS,ASA,AAS,SAS）已知已知已知(1)已知两边思路一(找第三边)思路二(找角)AB=DE,BC=EF首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用“SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定全等(八年级会学到)(2)已知两角思路一(找夹边)思路二(找角的对边)∠A=∠D,∠B=∠E首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全等首先找出AC=DF或BC=EF,然后应用“AAS”判定全等(3)已知一边一角思路一(找夹角的另一边)思路二(找夹边的另一角)思路三(找边的对角) ①边为角的邻边:AB=DE,∠B=∠E首先找出BC=EF,然后应用“SAS”判定全等首先找出∠A=∠D,然后应用“ASA”判定全等首先找出∠C=∠F,然后应用“AAS”判定全等②边为角的对边:AC=DF,∠B=∠E找边的邻角相等,先找出∠A=∠D或∠C=∠F,然后应用“AAS”判定全等类型1平移模型图形特点：沿同一条直线平移可得到两三角形重合例1.如图，AB∥DC，AC∥DE，点C为BE的中点，试说明：AB＝DC.解：∵AB∥DC，AC∥DE∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）∠ACB＝∠E（两直线平行，同位角相等）∵点C为BE的中点∴BC＝CE在△ABC和△DCE中∠B＝∠DCE，BC＝CE，∠ACB＝∠E，∴△ABC≌△DCE(ASA)∴AB＝DC（全等三角形的对应边相等）（已证）（已证）（已证）类型2对称模型图形特点：沿公共边或者公共顶点所在某条直线折叠可得两三角形重合例2.如图，点E，C在BF上，BE＝CF，AB＝DF，∠B＝∠F，试说明：∠A＝∠D.解：∵BE＝CF∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝FE在△ABC和△DFE中，AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝FE，∴△ABC≌△DFE(SAS)∴∠A＝∠D（全等三角形的对应角相等）（已证）练1.如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，试说明：△BDO≌△CEO.解：∵AO平分∠BAC∴∠DAO＝∠EAO（角平分线的定义）∵∠BDC＝∠CEB＝90°∴∠ADO＝∠AEO＝90°在△ADO和△AEO中∠ADO＝∠AEO，∠DAO＝∠EAO，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO(AAS)（已证）（已证）（公共边）∵△ADO≌△AEO∴DO＝EO（全等三角形的对应边相等）在△BDO和△CEO中∠BDO＝∠CEO，DO＝EO，∠DOB＝∠EOC，∴△BDO≌△CEO(ASA)（已证）（对顶角相等）类型3旋转模型图形特点：共顶点，绕该顶点旋转可得到两三角形重合例3.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AB∥CD，O是BD的中点.(1)说明：△ABO≌△CDO；(2)若BC＝AC＝4，BD＝6，求△BOC的周长.解：(1)∵AB∥CD∴∠BAO＝∠DCO（两直线平行，内错角相等）∠ABO＝∠CDO（两直线平行，内错角相等）∵O是DB的中点∴BO＝DO在△ABO和△CDO中∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，BO＝DO，∴△ABO≌△CDO(AAS).（已证）（已证）（已证）(2)∵△ABO≌△CDO，∴AO＝CO（全等三角形的对应边相等）CO＝12AC＝2∵BO＝12BD＝3∴△BOC的周长为BC＋BO＋OC＝4＋3＋2＝9.练2.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．试说明△AEC≌△BED.解:∵∠A=∠B（已知）∠AOD=∠BOE（对顶角相等）在△AOD中，∠2=1800-∠A-∠AOD在△BOE中，∠BEO=1800-∠B-∠BOE∴∠2=∠BEO又∵∠1=∠2（已知）∴∠1=∠BEO∴∠1+∠AED=∠BEO+∠AED即∠AEC=∠BED在△AEC和△BED中∴△AEC△BED（ASA）（已证）（已知）已知BEDAECBEAEBA)(≌类型4一线三等角模型图形特点：同一条线上有三个相等的角例4.如图，AD⊥AB于点A，BE⊥AB于点B，点C在AB上，且CD⊥CE，CD＝CE.试说明：AD＝CB.解：∵AD⊥AB，BE⊥AB∴∠A＝∠B＝90°（垂直的定义）∴∠D＋∠ACD＝90°∵CD⊥CE，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90°∴∠D＝∠BCE在△ACD和△BEC中∠A＝∠B，∠D＝∠BCE，CD＝EC，∴△ACD≌△BEC(AAS)∴AD＝CB（全等三角形的对应边相等）（已证）（已证）平移＋旋转模型：类型5组合模型平移＋对称模型：图形特点：将其中一个三角形平移至与另一个三角形对应顶点重合，然后两三角形可关于这点所在直线对称变换后重合，或者绕该顶点旋转后重合例5.如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D.(1)说明：AC∥DE；(2)若BF＝13，EC＝5，求BC的长.解：(1)在△ABC和△DFE中AB＝DF，∠A＝∠D，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE(SAS)∴∠ACB＝∠DEF（全等三角形的对应角相等）∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）(2)∵△ABC≌△DFE∴BC＝EF（全等三角形的对应边相等）∴BC-EC=EF-EC即BE=CF∴BE＝CF＝12(BF－EC)＝4∴BC＝BE＋EC＝9(2)若BF＝13，EC＝5，求BC的长.练3.如图，D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE，试说明：△ABC≌△DAE.解：∵DE∥AB∴∠CAB＝∠EDA（两直线平行，内错角相等）在△ABC和△DAE中∠CAB＝∠EDA，AB＝DA，∠B＝∠DAE，∴△ABC≌△DAE(ASA)（已证）