13.-习题课(幂级数)解析

习题课级数的收敛、求和与展开机动目录上页下页返回结束二、幂级数和函数的求法一、求幂级数收敛域的方法第13章三、函数的幂级数展开法四、函数的傅里叶级数展开法求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅里叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;nnba,(一、求幂级数收敛域的方法•标准形式幂级数:先求收敛半径R:再讨论Rx•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.例1.求下列级数的敛散域:,lim1nnnaaRnnnaRlim1或1解:nnnnnna)11(limlim当ex1因此级数在端点发散,enn1)11(nneunn)11()(01ne.)1,1(eee时,,1eRexe11即时原级数收敛.故收敛域为机动目录上页下页返回结束)()(lim1xuxunnn解:因22x,122x当时，即22x,2时当x故收敛域为.)2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散;机动目录上页下页返回结束例2.解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在∵原级数=∴其收敛半径4121},min{RRR注意:机动目录上页下页返回结束•求部分和式极限二、幂级数和函数的求法求和•映射变换法逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等•初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）•数项级数求和机动目录上页下页返回结束nnnxa0例3.求幂级数法1易求出级数的收敛域为x,cos2sin21xxx机动目录上页下页返回结束法2先求出收敛区间则21xxsin2,cos2sin21)(xxxxS设和函数为机动目录上页下页返回结束练习:解:(1))(21121nnnx原式)120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然x=0时上式也正确,故和函数为而在2xx≠01.求下列幂级数的和函数：级数发散,机动目录上页下页返回结束(2)nnxnn1111原式xnnttx01d1tttxxd1100x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx)10(x机动目录上页下页返回结束,)1(ln)11(1xx显然x=0时,和为0;根据和函数的连续性,有10xx=1时,级数也收敛.即得机动目录上页下页返回结束00!)12()1(!)2()1(21nnnnnn练习:解:原式=0!)12()1(nnn1[cos21的和.1)12(n21]1sin2.求级数机动目录上页下页返回结束三、函数的幂级数展开法•直接展开法•间接展开法练习:1.将函数展开成x的幂级数.—利用已知展式的函数及幂级数性质—利用泰勒公式解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn机动目录上页下页返回结束2.设,将f(x)展开成x的幂级数,的和.(01考研)解:211x,)1(02nnnx)1,1(xxarctanxxx02d11,12)1(012nnnxn]1,1[x)(xf1212)1(1nnnxn02212)1(nnnxn于是并求级数机动目录上页下页返回结束02212)1(nnnxn12112)1(nnnxn)(xf1212)1(1nnnxn1212)1(1nnnxn12121121)1(1nnnxnn,41)1(21122nnnxn机动目录上页下页返回结束四、函数的傅式级数展开法系数公式及计算技巧;收敛定理;延拓方法xyOππ),[上的表达式为将其展为傅氏级数.naπ1xnxxdcose021)cossin(e1nnxnxnx0π),2,1,0(11)1(e12nnn例1.设f(x)是周期为2的函数,它在解答提示xnxbxndsine1021)cos(sine1nnxnnxx0),2,1(1)1(12nnenn21e)(xf11n),2,1,0,(kkx思考:如何利用本题结果求级数根据傅式级数收敛定理,当x=0时,有21e1π1n2)0()0(ff21提示: