3正弦.余弦定理(习题课)

课题课型习题课制作:东莞市石碣中学HLC1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即===2R（R为△ABC外接圆半径）AasinBbsinCcsin2.正弦定理的应用:从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:)(ba),(babsinA)(bsinAasin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Aba⑵若A为直角或钝角时:)(ba锐角一解无解bababababaa已知边a,b和?A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a?bCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACHACB1ABACB2CHHH证明：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC由AC+CB=AB两边同乘以单位向量j得j•(AC+CB)=j•AB则j•AC+j•CB=j•AB∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=|j|•|AB|cos(90A)∴AcCasinsin∴Aasin=Ccsin同理，若过C作j垂直于CB得：Ccsin=Bbsin∴Aasin=Bbsin=Ccsin3．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即Abccbacos2222bcacbA2cos222Bacacbcos2222cabacB2cos222Cabbaccos2222abcbaC2cos2224．余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。例1在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.解：∵＝0.725，∴A≈44°bcacbA2cos222∵＝0.8071，∴C≈36°,abcbaC2cos222∴B＝180°－(A＋C)≈100.(∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).)aAcsin例2在ΔABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形.解：由，得c≈4.297.Cabbaccos2222∵≈0.7767，∴A≈39°2′,bcacbA2cos222∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.(∵sinA＝≈0.6299∴A=39°或141°(舍).)，cCasin例3ΔABC三个顶点坐标为A(6，5)、B(－2，8)、C(4，1)，求角A.87654321-4-22468CBA解法一：∵|AB|＝|BC|＝|AC|＝73)85()]2(6[2285)18()42(2252)15()46(22ACABBCACABA2cos2223652∴A≈84°.解法二：∵＝(–8，3)，＝(–2，–4).ABAC∴cosA＝=,∴A≈84°.ACABACAB36525273)4(3)2()8(1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为()A.直角三角形B.C.D.等边三角形C解法一：利用余弦定理将角化为边.∵bcosA＝acosB,∴b·acbcaabcacb22222222∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2,∴a2＝b2,∴a＝b，故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角.∵bcosA＝acosB又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB∴sinAcosB－cosAsinB＝0∴sin（A－B）＝0∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π，∴A－B＝0即A＝B故此三角形是等腰三角形.返回1、把上式中的条件改为acosA=bcosB,这个三角形的形状又具有什么特点？（课本P10B组2）2、条件再改为,三角形形状又怎样？CcBbAacoscoscos2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为。3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为。4.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A=。)16(52sinsinBC直角三角形等腰三角形锐角三角形钝角三角形120°1.在△ABC中，证明下列各式：（1）（a2－b2－c2）tanA＋（a2－b2＋c2）tanB＝02.在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos2，试判断此三角形的类型.2A解：∵sinB·sinC＝cos2,∴sinB·sinC＝2A2cos1A∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得cosBcosC＋sinBsinC＝1,∴cos（B－C）＝1又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π∴B－C＝0∴B＝C故此三角形是等腰三角形.._____tan,3,3,1,.3CABCBBCABC时的面积为当中在ACB.4323121sin21:ABABBBCABSABC解sintanC23.cosBB1326213131sin13131132161132cos2222CBCACABBCAcC.1313211421162222ACBCOSBCABBCABAC余弦定理及其应用cabacB2cos222Abccbacos2222bcacbA2cos222Bacacbcos2222Cabbaccos2222abcbaC2cos222