Winger-Ville分布和短时三维功率谱阵

Wigner分布与短时三位功率谱阵马正伟2012-5-4主要内容1信号的时频分析—FT的不足2克服FT不足的主要方法3Winger-Ville分布4WVD的应用实例5短时三维功率谱阵6短时三维功率谱阵在旋转机械的状态监测中的应用1信号的时频分析时间和频率是描述信号的两个最基本的物理量。而傅立叶变换在其中发挥着重要作用。对给定的信号x(t)，既可以时域描述，也可以通过傅立叶变换得到频谱X(jΩ)进行频域描述。傅立叶变换可以实现信号的时域和频域转换。傅立叶正、反变化：傅立叶变换的不足对现实物理世界中的大部分信号，信号的幅度不但随时间变化，而且其频率也随时间变化。实际上，在时域中愈是在较短时间内发生幅度突变的信号，其包含的信息就愈多。但由傅立叶变换X(jΩ)看不出在什么时刻发生了此种类型的突变。傅立叶变换在信号的时频分析方面存在一定的不足。这些不足主要体现在三个方面：1傅立叶变换缺乏时间和频率的定位功能所谓时间和频率的定位功能：对给定信号x(t)，希望知道在某个特定时刻（或很短时段），信号对应的频率是多少；反之，对某一特定频率（或很窄的频段），希望知道什么时刻产生了该频率分量。2傅立叶变换对非平稳信号的局限性傅立叶变换式对应的都是单变量t或Ω的函数，即x(t)或X(jΩ)，因此，傅立叶变换只适合于时不变信号。时不变信号可以展开为无穷多个复正弦信号的和，而这无穷多个复正弦信号的幅值、频率和相位均不随时间变化。但是，现实世界中绝大部分信号的频率都是随时间变化的，即都是时变信号，傅立叶变换不能反映频率随时间的变化。信号的瞬时频率（IF）：假设信号则瞬时频率IF定义为ϕ(t)对t的导数，即：平稳信号的IF为一常数，非平稳信号的IF为时间t的函数。例如一线性频率调制信号信号的瞬时频率：信号的时频表示如下图：傅立叶变换反映不出信号频率随时间变化的行为，不具有时间和频率定位功能。因此，它只适合于平稳信号，而对频率随时间变化的非平稳信号，它只能给出一个总的平均效果。3傅立叶变换在分辨率上的局限性我们都希望既得到好的时间分辨率又得到好的频率分辨率，但，实际上时间分辨率和频率分辨率不可能同时达到最好。不定原理：给定信号x(t)，若，则当且仅当x(t)为高斯信号，即时等号成立，式中，分别为信号的时宽和带宽。由定理可知，对于给定信号，其时宽与带宽的乘积为一常数。当信号时宽减小时，其带宽将相应增大，当时宽减到无穷小时，带宽将无穷大，反之亦然。信号的时宽和带宽对给定的信号x(t)，假定它是能量信号，即其能量则信号的时间中心和频率中心分别为：信号的时宽和带宽为：例如矩形窗函数下图是时域矩形窗和其频谱显然，矩形窗的宽度T和其频谱主瓣的宽度成反比。由于矩形窗在信号处理中起到了对信号截短的作用，因此，若信号在时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，那么由于的主瓣变宽因此在频域的分辨率必然会下降。所有这些都体现了傅立叶变换中在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾。2克服傅立叶变换不足的主要方法针对傅立叶变换的不足，现在主要的克服方法有以下几种：短时傅立叶变换、时频联合分析、小波变换、信号的子带分解、多分辨率分析。1短时傅立叶变换（SFTF）给定一连续信号x(t)，其STFT定义为式中且此外，窗函数应取对称的实函数。STFT即在时域用窗函数去截断（将式中的时间变量t换为），对截下来的局部信号做傅立叶变换，即可得到t时刻的该段信号的傅立叶变换。不断地移动t，也即不断移动窗函数的位置，即可得到不的同时刻的傅立叶变换。由图可知，STFT在时域、频域都有有限宽度。由于所以该式指出，对在时域加窗，相应在频域对加窗基函数的时间中心（注意，t是移位变量），其时宽即的时间中心由t决定，但时宽和t无关。同理，的频率中心，而带宽也和中心频率Ω无关。即不论t,Ω取何值，时宽、带宽及时宽-带宽积始终保持不变。如下图当对信号作时-频分析时，一般，对快变的信号，希望有好的时间分辨率以观察其快变部分（如尖脉冲等），即观察的时间宽度Δt要小，受时宽-带宽积的影响，该信号频域的分辨率必定要下降。由于快变信号对应的是高频信号，因此对这类信号，希望有好的时间分辨率，但同时就要降低高频的分辨率。反之，对慢变信号，由于它对应的是低频信号，所以希望在低频处有好的频率分辨率，但不可避免的要降低时域的分辨率。我们希望所采取的时-频分析算法能自动适应这一要求。显然，由于STFT的时宽、带宽不随t、Ω变化而变化，因而不具备这一自动调节能力。连续信号STFT离散信号STFT反变换反变换或2时频联合分析Winger-Ville分布1932年Winger提出时频联合分析概念，并首先用于量子力学领域，之后Ville将其引入信号处理领域，形成经典的Winger-Ville分布，即式中，函数以相乘的形式出现，又称为双线性时频分布，也可以表示出信号x(t)的自Winger-Ville分布的形式，即WVD具有一系列好的性质，将在后边详细介绍。1946年，Gabor提出了信号时频展开的思想，即Gabor展开式中是窗函数，是展开系数，m代表时域序号，n代表频域序号1966年，Cohen提出如下形式的时频分布，即Cohen分布式中是处在平面的权函数，可以证明，若，则Cohen分布即变成Wigner-Ville分布，给定不同的权函数，我们可得到不同的时-频分布。3小波变换对于给定的信号x(t)，希望找到一个基本函数，并记其伸缩与位移为一族函数，x(t)和这一族函数的内积即定义为x(t)的小波变换式中，a是尺度定标常数，b是位移，又称基本小波或母小波。由傅立叶变换的性质可知，若的傅立叶变换为，则的傅立叶变换为。故而，通过a取不同的值可以将在时间轴拉伸或压缩，这也同时影响到频域，由此我们可得到不同的时域分辨率和频域分辨率。由后面的讨论可知，a小，对应分析信号的高频部分，a大，对应分析信号的低频部分。4信号的子带分解与多分辨率分析将一个复杂信号分解成简单信号的组合是信号分析处理中最常用的方法。信号的子带分解也是基于这种道理，将信号的频谱均匀或非均匀（多分辨率分解）的分解成若干部分。每一部分对应一个时间信号，称为原信号的子带信号。信号子带分解主要通过滤波器组实现。体会1FT只能实现信号的时域或频域单独描述，无法表示时域和频域之间的关系，故只适用于平稳信号或非时变信号，对非平稳信号，只能表示一个总的平均结果。2FT在信号的时域和频域分辨率之间存在固有矛盾，所有试图克服这一不足既得到较好的时间分辨率又得到较好的频率分辨率的信号分析方法仍然受不定原理的制约，无法同时实现两者的最优。3STFT、小波变换等信号分析方法在一定程度上也属于时频联合分析方法，但STFT中的变量t、Ω仍是单独取值的，并非绝对的时频联合分析。4所有时频联合分析的实质即找到一个合适的二维函数，以实现时间和频率的联合分布，同时既具有好的时间分辨率，又具有好的频率分辨率。3Winger-Ville分布WVD定义令信号的傅立叶变换分别为，则的联合W-V分布定义为信号x(t)的自WVD为WVD的定义解释利用频域卷积定理可知WVD的性质一、的奇、偶、虚、实性１、不论x(t)是实信号还是复值信号，其自WVD都是t和Ω的实函数，即２、若x(t)为实信号，则不但是t、Ω的实函数，还是Ω的偶函数，即３、对x(t)，y(t)的互WVD，不一定是实函数，但具有如下性质：二、WVD的能量分布性质１、时间边缘性质2．频率边缘性质该式表明，信号的WVD沿频率轴的积分等于该信号在t时刻的瞬时能量。由此可看出WVD具有能量分布性质。该式表明，信号的WVD沿时间轴的积分等于在该频率处的瞬时能量。3．能量分布性质这三个式子指出，在某一时间带内对时间的积分等于信号在该带内的能量，在某一频带内的积分也有着同样的性质。而在整个t-Ω平面上的积分等于信号的总能量。因此，WVD可看作是信号能量在时频平面的分布。但在平面某点的值并不反映信号能量。三、由WVD重建信号x(t)由x(t)的自WVD可知注意：若x(t)含有常数的相位因子，如，则由于将相位因子抵消，由WVD恢复的x(t)将不含相位因子。四、WVD的运算性质１、移位取，则２、调制取，则３、移位加调制取，则上边三式分别称为WVD的移位不变性、频率调制不变性、移位加调制不变性。４、时间尺度取，则５、信号的相乘令y(t)=x(t)h(t)，则该式指出，两个信号积的自WVD等于这两个信号各自WVD在频率轴上的卷积。利用这个性质，对无限长的信号加窗截短时，只影响其频率分辨率，而不影响其时域分辨率。６、信号的滤波令y(t)=x(t)*h(t)，则７、信号的相加令，则该式指出，两个信号和的WVD并不等于它们各自WVD的和，存在“交叉干扰项”。这是WVD的一个严重缺陷。若令，则一般，若x(t)会有N个分量，那么这些分量之间共产生N(N−1)/2个交叉项。五、WVD的时限与带限性质１、若在t和t时，x(t)=y(t)=0，即x(t)，y(t)是时限的，则对一切Ω，有２、由上述结论，若x(t)，y(t)均是因果信号，及当t0时x(t)=y(t)=0，那么３、若当Ω和Ω时,x(Ω)=y(Ω)=0，即x(Ω)、y(Ω)是带限的，则对一切的t，有六、WVD的Parseval关系七、WVD的缺点１、两个信号和的WVD有交叉项存在，使得两个信号和的分布已不再是两个信号各自分布的和；２、由于WVD是信号能量随时间-频率的分布，因此，理论上讲，应始终为正值，但实际上并非如此。因为是的傅立叶变换，因此，我们可以保证始终为实值，但不一定能保证它非负。常用信号的WVD例1.单位矩形窗信号的WVD令，求注：在时间轴-T~T内有值，在频率轴为sinΩ/Ω形式的sinc函数。例2.复正弦信号的自WVD信号x(t)的WVD与时间t无关，是位于Ω=Ω。处的δ函数。从例1、2的WVD图中都可以发现某些负值。WVD的实现1.时域离散化信号x(t)的抽样间隔为Ts，即t=nTs，并令，积分变为求和Ts归一化，相对离散信号的频率ω=ΩTs，则时域离散化导致频域周期化，一般x(t)时域离散后，频域周期为2π，由于上式x(t)的WVD中核函数为exp(-j2kω)，所以周期为π。由抽样定理，如果按对x(t)抽样，并对抽样后的x(n)做WVD，由于其周期变为π，因此在WVD中将产生严重混叠，因此fs至少应满足，解决这一问题的方法：１、采用解析信号，由解析信号的性质可知，z(t)只包含x(t)的正频率部分。这样，既可减轻由正、负频率分量所引起的交叉项干扰，又可在保持原有抽样频率情况下避免频域混叠。２、对x(n)作插值，人为提高抽样频率。2.频域离散化令并假定x(k)长度为N，即k=0,1,….,N-1N取不同值时，k的长度不同，例如取n=2,N=6时将rx(n,k)都扩充为N点序列，不足补零，则Wx(n,l)频域周期为π，归一化频率为0.53.加窗平滑上边在N取不同值时，k的是长度不同的，另外WVD是二次函数，有交叉项存在，为了抑制交叉项，需对其加窗，即伪WVD取窗函数w(n)，w(n)应是实对称的函数，假定其宽度为4L−1，即当|k|≥2L时，w(k)=0，用w(k)乘rx(n,k)，并带入WVD得将ω离散化，可将2π分成2L等份，即ω=2πl/2L，则由于，即PWx(n,l)以L为周期，这样2L将有一半冗余，令取l=0,…L-1，则在t和Ω上都连续时，伪WVD是加窗结果等于未加窗时的WVD和窗函数的频谱在频率方向的卷积加窗可使x(t)的WVD在频率方向更平滑，并减少干扰。？x(t)的WVD时域离散后，频域周期为π，是否可直接取ω=πl/L，其中l=0,…L-1例3.令x(t)是由三个不同频率的复正弦信号首尾相连而形成的，即式中，下图左边是加窗，右边是不加窗的结果：Wigner-Ville时频分布在内燃机故障诊断中的用——孙云岭，张永祥以6-135G型柴油机为原型建立曲轴连杆刚性动力学模型,选定的工况为1200r/min,输出功率60kW,用此工况下测得的柴油机正常状态缸内压力数据代入模型进行动力学仿真,得到