高一数学复合函数讲解

1、复合函数的概念如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。例如：函数是由复合而成立。函数是由复合而成立。a是中间变量。2、复合函数单调性由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。对任意，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。∵当a＞1时，∵y=f（u）是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地，当0＜a＜1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。例1、讨论函数的单调性（1）（2）又是减函数∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。②x∈（-1，3）令∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。∵是增函数∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间。1、（1）减区间，增区间；（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。2、已知求g（x）的单调区间。提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）（1）y=f（x）的表达式及定义域；（2）求y=f（x）的值域；（3）讨论y=f（x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数。答案：（1）x∈（0，3）（2）（0，]（3）y=f（x）在上单调递增函数，在上是单调递减函数当x∈时，；当x∈时，。例3、确定函数的单调区间。提示，先求定义域：（-∞，0），（0，+∞），再由奇函数，先考虑（0，+∞）上单调性，并分情况讨论。函数的递增区间分别为（-∞，-1]，[0，+∞）函数的递减区间分别为[-1，0），（0，1]。1、求下列函数的单调区间。（1）（2）（3）2、求函数的递减区间。3、求函数的递增区间。4、讨论下列函数的单调性。（1）（2）答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+∞）（3）递减区间（-∞，0]递增区间[2，+∞）2、[，2]3、（-∞，-2）4、（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）a＞1时，在（-∞，1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；用待定系数法求函数解析式一、填空题：1、已知二次函数mxxy32的图象与x轴只有一个交点，则m＝。2、抛物线cbxxy2过点(1，0)，与x轴两交点间距离3，则b＝，c＝。3、抛物线42bxxy与x轴只有一个交点，则b＝。4、抛物线的顶点是C(2，3)，它与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程0342xx的两个根，则AB＝，S△ABC＝。5、如图，二次函数5)2(2axaxy的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，当线段AB最短时，线段OC的长是。6、若抛物线cxxy212的顶点在x轴上，则c的值是。7、抛物线12mxxy与x轴有个交点。二、选择题1、抛物线5322xy与y轴的交点坐标是()(A)(0，－5)；(B)(0，13)；(C)(0，4)；(D)(3，－5)2、抛物线xxy221的顶点坐标为()(A)211，－(B)211，－(C)1,21－(D)(－1，0)3、若抛物线322mxmxy的顶点在y轴上，则m的值为()(A)－3(B)3(C)－2(D)24、若抛物线cxxy212的顶点在x轴上，则c的值为()(A)41；(B)41－；(C)161；(D)161－5、函数xxy32图象可能为()6、若(2，5)，(4，5)是抛物线cbxaxy2上的两点，那么它的对称轴为直线()(A)abx(B)1x(C)2x(D)3x7、抛物线12mxxy与x轴的交点个数是()(A)0；(B)1；(C)2；(D)无数个。三、求符合下列条件的二次函数式图象：1、过点(0，1)，(1，1)，(－1，－1)；2、对称轴是x＝2，经过(1，4)和(5，0)两点。3、抛物线与x轴的一个交点(6，0)，顶点是(4，－8)4、当x＝3时，y有最大值为－1，且抛物线过点(4，－3)。5、抛物线以点(－1，－8)为顶点，且与y轴交点纵坐标为－6。6、顶点在x轴上，对称轴方程x＝－3，且经过点(－1，4)。7、求二次函数)4()232mmxmxy（的图象与x轴两交点间的距离的最小值，此时m的值是多少？8、二次函数图象经过A(0，2)和B(5，7)两点，且它的顶点在直线y＝－x上。